Question

Вычислите сумму 1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(2018*2019) С объяснением пожалуйста, даю 100 баллов

Answer 1

Вычислите сумму 1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(2018*2019)

Ответ:

Answer 2

Конечно, давайте вычислим эту сумму:

$S = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \ldots + \frac{1}{2018 \times 2019}$

Мы можем заметить, что каждый член в сумме представляет собой обратное значение произведения двух последовательных чисел. Давайте разложим каждый член на два множителя:

$\frac{1}{n \times (n+1)} = \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

Теперь выразим нашу сумму через эти разложенные члены:

$S = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{2018} - \frac{1}{2019}\right)$

Заметим, что большинство членов в этой сумме сокращаются:

$S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2019}$

$S = \frac{1}{2} - \frac{1}{2019}$

Теперь давайте вычислим эту сумму:

$S = \frac{1}{2} - \frac{1}{2019} = \frac{2019 - 1}{2 \times 2019} = \frac{2018}{2 \times 2019} = \frac{2018}{4038}$

$S = \frac{1009}{2019}$

Итак, сумма данного ряда равна $\frac{1009}{2019}$.