Question

Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна 48, а произведение диагоналей равно 8. Найдите сумму диагоналей параллелограмма.

Answer 1

Ответ:   8.

Пошаговое объяснение:

Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна 2a²+2b²=48 или

2(a²+b²)=48.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме его смежных сторон:

d1²+d2²=2(a²+b²);

d1²+d2²=48.

d1*d2=8.  Тогда

d1²+2d1d2+d2²=48+2*8;

(d1+d2)²=64;

d1+d2=±8;  (-8 - не соответствует условию)

d1+d2=8.

Answer 2

Пусть $a$ и $b$ — стороны параллелограмма, а $d_1$ и $d_2$ — его диагонали.

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

1. Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна 48: $a^2 + b^2 = 48$

2. Произведение диагоналей равно 8: $d_1 \cdot d_2 = 8$

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма может быть выражена через стороны и угол между ними: $d_1^2 + d_2^2 + 2 \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \cos(\theta) = a^2 + b^2$

Где $\theta$ — угол между сторонами. В параллелограмме этот угол равен углу при основании, и поскольку противоположные стороны параллельны, то $\cos(\theta) = -1$.

Теперь мы можем подставить известные значения: $d_1^2 + d_2^2 - 2 \cdot d_1 \cdot d_2 = 48$

Мы также знаем, что $d_1 \cdot d_2 = 8$, поэтому: $d_1^2 + d_2^2 - 2 \cdot 8 = 48$

Таким образом: $d_1^2 + d_2^2 = 64$

Теперь мы можем найти сумму квадратов диагоналей, а затем извлечь из нее корень, чтобы получить сумму диагоналей: $d_1 + d_2 = \sqrt{d_1^2 + d_2^2} = \sqrt{64} = 8$

Итак, сумма диагоналей параллелограмма равна 8.