Question

При каких значенияхпараметра m вершина параблы y=4x²+2mx+3m-4 лежит на кривой y=|4x²+6x+5| Полный разбор пожалуйста ​

Answer 1

Ответ на закрепленных изображениях

Answer 2

Окей, давай разберёмся с этим математическим головоломками!

Начнем с того, что условие "вершина параболы лежит на кривой" означает, что координаты вершины параболы должны удовлетворять уравнению кривой. Уравнение параболы $y = 4x^2 + 2mx + 3m - 4$ описывается общей формулой параболы $y = ax^2 + bx + c$, где в данном случае $a = 4$, $b = 2m$, и $c = 3m - 4$.

Теперь давайте найдем координаты вершины параболы. Вершина параболы с уравнением $y = ax^2 + bx + c$ имеет координаты $(-b/2a, f(-b/2a))$, где $f(x)$ - это значение функции в точке $x$.

В нашем случае, координаты вершины будут $(-2m/(2 \cdot 4), f(-2m/(2 \cdot 4)))$. Упрощаем: $(-m/4, f(-m/4))$.

Теперь подставим эти координаты в уравнение кривой $y = |4x^2 + 6x + 5|$. Подставим $x = -m/4$:

$f(-m/4) = |4(-m/4)^2 + 6(-m/4) + 5|$

$f(-m/4) = |m^2/4 - 3m + 5|$

Теперь мы хотим, чтобы это равенство выполнялось при любых значениях $m$. Для этого нужно, чтобы выражение внутри модуля всегда было неотрицательным. Таким образом:

$m^2/4 - 3m + 5 \geq 0$

Решим это неравенство. Умножим все члены на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$m^2 - 12m + 20 \geq 0$

Теперь факторизуем это квадратное уравнение:

$(m - 10)(m - 2) \geq 0$

Это неравенство выполняется, когда $m \leq 2$ или $m \geq 10$.

Таким образом, при $m \leq 2$ или $m \geq 10$ координаты вершины параболы $y = 4x^2 + 2mx + 3m - 4$ лежат на кривой $y = |4x^2 + 6x + 5|$.