Question

Помогите, диф. уравнения - найти общее решение линейных уравнений, пример:

Answer 1

Ответ:

$y''-4y'-21y=0\\\\k^2-4k-21=0\ \ ,\ \ D/4=25\ \ ,\ \ k_1=-3\ ,\ k_2=7\\\\y_{obshee}=C_1e^{-3x}+C2e^{7x}$

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам найти общее решение линейного дифференциального уравнения. Давайте рассмотрим пример:

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

$\frac{dy}{dx} + 2y = 0$

Чтобы найти общее решение этого уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных. Сначала выразим $dy$ и $dx$:

$dy = -2ydx$

Теперь разделим обе стороны на $y$:

$\frac{dy}{y} = -2dx$

Интегрируем обе стороны:

$\int \frac{1}{y} dy = \int -2dx$

Это даст нам:

$\ln|y| = -2x + C$

Где $C$ - произвольная постоянная интегрирования. Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения:

$|y| = e^{-2x + C}$

Теперь рассмотрим два случая для абсолютной величины $|y|$:

1. Если $y$ положительно, то $|y| = y$, и уравнение примет вид:

$y = e^{-2x + C}$

2. Если $y$ отрицательно, то $|y| = -y$, и уравнение примет вид:

$y = -e^{-2x + C}$

Таким образом, у нас есть два общих решения этого линейного дифференциального уравнения, в зависимости от начальных условий и константы $C$.