Question

Помогите, диф. уравнения - найти общее решение линейных уравнений, пример: y"+16y=0

Answer 1

Ответ:

$y''+16y=0\\\\k^2+16=0\ \ ,\ \ \ k^2=-16\ \ ,\ \ k=\pm 4i\\\\\underline {\ y_{obshee}=C_1\, cos4x+C_1\, sin4x\ }$

Answer 2

Для нахождения общего решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, таких как данное уравнение y'' + 16y = 0, мы можем использовать метод характеристических уравнений. Сначала найдем характеристическое уравнение:

r^2 + 16 = 0

Теперь найдем корни этого уравнения:

r^2 = -16 r = ±√(-16) r = ±4i

У нас есть два комплексных корня: r1 = 4i и r2 = -4i. Общее решение для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с комплексными корнями будет иметь следующий вид:

y(t) = e^(at) [A * cos(bt) + B * sin(bt)]

где a и b - вещественные числа, a = Re(r), b = Im(r), а A и B - произвольные константы.

В данном случае a = 0 (поскольку у нас нет дополнительного линейного члена), b = 4, и b = -4.

Таким образом, у нас есть два решения:

1. y1(t) = e^(0t) [A * cos(4t) + B * sin(4t)] = A * cos(4t) + B * sin(4t)
2. y2(t) = e^(0t) [A * cos(-4t) + B * sin(-4t)] = A * cos(-4t) + B * sin(-4t)

Оба этих решения являются общими решениями для данного дифференциального уравнения. Вы можете выбрать любые значения для A и B, чтобы получить конкретное частное решение или вариант решения в зависимости от начальных условий.