Question

№351 (1) Ю.М. Колягин , 10 класс. Сколько рациональных членов содержит разложение (√3+√(√5) )¹²⁴ Максимально подробно.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Чтобы при разложении $(\sqrt{3}+\sqrt[4]{5})^{124}$ получились рациональные слагаимые, нужно чтобы √3 и ⁴√5 были возведены в степень, кратную 4 (сумма степеней каждого члена равна 124).

Находим количество чисел, которые делятся на 4 нацело

в диапазоне [0;124] c помощью арифметической прогрессии:

$></p> <p><strong>Ответ: 32 рациональных члена содержит разложение </strong><img src=$.

Answer 2

Для разложения выражения $(\sqrt{3}+\sqrt{\sqrt{5}})^{124}$ на рациональные и иррациональные члены, мы можем воспользоваться биномом Ньютона и свойствами корней. Первым шагом, давайте выразим это выражение с помощью бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k$

где $C(n, k)$ - биномиальный коэффициент (n выберет k), который вычисляется как:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, $a = \sqrt{3}$, $b = \sqrt{\sqrt{5}}$, и $n = 124$. Теперь мы можем приступить к расчетам.

1. Разложение будет содержать 125 членов, так как степень $n = 124$, и биномиальное распределение будет от $k = 0$ до $k = 124$.

2. Для каждого $k$ от 0 до 124, мы вычисляем биномиальный коэффициент $C(124, k)$ и умножаем его на $a^{124-k}$ и $b^k$.

3. Теперь вычислим члены разложения:

\begin{align*} k = 0: & \quad C(124, 0) \cdot (\sqrt{3})^{124} \cdot (\sqrt{\sqrt{5}})^0 = 1 \cdot 3^{62} \cdot 1 = 3^{62} \\ k = 1: & \quad C(124, 1) \cdot (\sqrt{3})^{123} \cdot (\sqrt{\sqrt{5}})^1 = 124 \cdot 3^{61/2} \cdot \sqrt{\sqrt{5}} \\ k = 2: & \quad C(124, 2) \cdot (\sqrt{3})^{122} \cdot (\sqrt{\sqrt{5}})^2 = 7386 \cdot 3^{61} \cdot \sqrt{5} \\ \text{и так далее...} \end{align*}

Выражение $(\sqrt{3}+\sqrt{\sqrt{5}})^{124}$ разлагается на 125 членов. Многие из этих членов будут иррациональными, содержащими корни из чисел, поэтому число рациональных членов будет меньше 125.