Question

Найти сумму всех целых чисел n, делящихся без остатка на 4 и удовлетворяющих неравенству. n^2-180n+2624<0

Answer 1

Ответ:

3240

Пошаговое объяснение:

${n}^{2} - 180n + 2624 < 0$

Чтобы решить неравенство,сначала найдем корни, приравняв его к нулю

${n}^{2} - 180n + 2624 = 0$

По теореме Виета:

$n_{1} + n_{2 } = 180 \\ n_{1} \times n_{2 } = 2624$

Данному условию соответствуют корни 164 и 16

Получается что решением неравенства является отрезок 16<n<164

В этом отрезке следующие числа делятся на 4 без остатка:20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,80,84,88,92,96,100,104,108,112,116,120,124,128,132,136,140,144,148,152,156,160

Посчитаем сумму с помощью арифметической прогрессии

$s_{n} = \frac{ a_{1} + a_{n}}{2} \times n$

$s_{36} = \frac{ 20 + 160}{2} \times 36 = 90 \times 36 = 3240$

Answer 2

Ответ:

3240

Пошаговое объяснение:

$n^2-180n+2624n \\ \\ n \in (16;164)$

Так как изначальное неравенство строгое, то числа 16 и 164 не включаются и нам не подходят.

Нам нужно найти сумму целых чисел из полученного множества, что делятся на 4, то есть:

20+24+28+32+...+160=?

Это сумма арифметической прогрессии, где

$a_1=20; \ a_n=160; \ d=a_2-a_1=24-20=4$

Число членов этой последовательности найдем по формуле n-го члена:

$a_n=a_1+(n-1)d \\ 160=20+(n-1)*4 \\ 4(n-1)=140 \\ n-1=35 \\ n=36$

Тогда сумму находим по формуле:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n \\ \\ S_{36}=\frac{20+160}{2}*36=3240$

Answer 3

Для нахождения суммы всех целых чисел n, которые делятся на 4 и удовлетворяют неравенству n^2 - 180n + 2624 < 0, мы можем воспользоваться методом диаграмм знаков.

Сначала рассмотрим неравенство без учета условия деления на 4:

n^2 - 180n + 2624 < 0

Чтобы решить это квадратное неравенство, давайте начнем с его факторизации:

(n - 164)(n - 16) < 0

Теперь мы видим, что корни этого уравнения равны 164 и 16. Из этой факторизации мы можем построить диаграмму знаков:

markdownCopy code
    -       +       +

Из этой диаграммы видно, что неравенство выполняется в интервале (16, 164). Теперь мы должны учесть условие, что n должно быть кратно 4.

Следовательно, нам нужно найти количество целых чисел, удовлетворяющих этим условиям в интервале (16, 164), которые делятся на 4.

16 и 164 делятся на 4. Мы можем найти количество кратных 4 чисел в этом интервале, используя следующую формулу:

Количество кратных 4 чисел = (Максимальное число, делящееся на 4 - Минимальное число, делящееся на 4) / 4 + 1

= (164 - 16) / 4 + 1 = 148 / 4 + 1 = 37 + 1 = 38

Теперь, чтобы найти сумму всех таких чисел, мы можем взять среднее арифметическое между 16 и 164 и умножить на количество чисел (38):

Сумма = (16 + 164) / 2 * 38 = 180 / 2 * 38 = 90 * 38 = 3420

Итак, сумма всех целых чисел n, которые делятся на 4 и удовлетворяют неравенству n^2 - 180n + 2624 < 0, равна 3420.