Question

Почему НОД(u² + v², uv) = 1 При условии что u и v взаимно простые?

Answer 1

Пусть НОД(u²+v²,uv)>1, и p - общий простой делитель этих выражений. Поскольку u и v взаимно простые, у них нет общих делителей (кроме 1), поэтому p - делитель одного из них, но не делитель другого. Пусть, для определенности, u делится на p, а  v не делится на p. Поскольку

u²+v² делится на p и u (а тогда и u²) делится на p, то и их разность

(u²+v²)-u²=v² делится на p, а поскольку p простое число, v  также делится на p.  Полученное противоречие доказывает утверждение.

Answer 2

Пусть u и v - взаимно простые целые числа, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Рассмотрим выражение u² + v².

Если u и v взаимно простые, то их квадраты также будут взаимно простыми числами, потому что квадрат числа остается взаимно простым с исходным числом (поскольку их НОД равен 1).

Теперь рассмотрим выражение uv. Если u и v взаимно просты, то их произведение uv также будет взаимно простым числом с u² + v², так как их НОД равен 1.

Поскольку и u² + v² и uv взаимно просты с числом 1, то их НОД равен 1. Таким образом, НОД(u² + v², uv) = 1 при условии, что u и v взаимно просты.