Question

Из Москвы в Самару вышел первый поезд, а за ним через 5 часов отправился второй. Оба поезда двигались с постоянными скоростями и прибыли в Самару одновременно. Найти суммарную скорость поездов, если известно, что, когда первый поезд прошел середину пути, второй отставал от него на 235км, а за 1 час до прибытия – на 25км​

Answer 1

Відповідь:

Суммарная скорость двух поездов составила 163 км./час.

Покрокове пояснення:

За час до прибытия в Самару второй поезд отставал от первого на 25 км., но в Самару они прибыли одновременно, значит скорость второго поезда на 25 км./час больше скорости первого поезда.

Когда первому поезду оставалось проехать половину пути, второй поезд отставал от первого на 235 км. Значит, что-бы сократить это отставание второму поезду потребуется 235 / 25 = 9,4 часа. За это время оба поезда прибудут в Самару.

Первый поезд пробыл в пути 9,4 × 2 = 18,8 часов, а второй 18,8 - 5 = 13,8 часов.

Первый поезд отправился в путь на 5 часов раньше второго и за это время проехал расстояние, которое второй поезд доганял в течении 13,8 часов за счет скорости большей на 25 км./час. О ставание составило 25 × 13,8 = 345 км. Первый поезд ехал со скоростью 345 / 5 = 69 км./час. Второй поезд ехал со скоростью 69 + 25 = 94 км./час. Суммарная скорость двух поездов составила 69 + 94 = 163 км./час.

Проверка:

Первый поезд проехал:

18,8 × 69 = 1 297,2 км.

Второй поезд проехал:

13,8 × 94 = 1 297,2 км.

На половине пути первому поезду оставалось проехать:

9,4 × 69 = 648,6 км.

А второму поезду оставалось проехать:

9,4 × 94 = 883,6 км.

Второй поезд отставал от первого на:

883,6 - 648,6 = 235 км.

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

Пусть V1 - скорость первого поезда, V2 - скорость второго поезда, t - время движения поездов, и L - длина пути от Москвы до Самары.

Теперь у нас есть несколько уравнений, которые мы можем использовать для решения этой задачи:

1. По определению скорости (V = S/t), где S - расстояние и t - время, мы можем записать следующее:

   V1 = L/(t + 5) V2 = L/t

2. Мы знаем, что когда первый поезд прошел середину пути, второй отставал от него на 235 км. Это можно записать как:

   L/2 - 235 = V2 * (t - 5)

3. За 1 час до прибытия первого поезда, второй отставал от него на 25 км:

   L - 25 = V2 * (t - 1)

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными (V1, V2 и L). Мы можем решить эту систему. Начнем с уравнения (3):

L - 25 = V2 * (t - 1)

Теперь заметим, что мы можем выразить t - 1 из уравнения (2):

t - 1 = (L/2 - 235) / V2

Подставим это выражение обратно в уравнение (3):

L - 25 = V2 * [(L/2 - 235) / V2]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной L. Решим его:

L - 25 = (L/2 - 235)

Переносим все слагаемые с L на одну сторону:

L - L/2 = 235 + 25

Упростим:

L/2 = 260

Умножим обе стороны на 2:

L = 520

Теперь, когда у нас есть значение L, мы можем найти t из уравнения (2):

L/2 - 235 = V2 * (t - 5)

520/2 - 235 = V2 * (t - 5)

260 - 235 = V2 * (t - 5)

25 = V2 * (t - 5)

Теперь мы можем найти V2:

V2 = 25 / (t - 5)

Теперь мы можем использовать уравнение (1) для нахождения V1:

V1 = L/(t + 5) = 520/(t + 5)

Теперь, чтобы найти суммарную скорость поездов, просто сложите V1 и V2:

Суммарная скорость = V1 + V2 = 520/(t + 5) + 25/(t - 5)

Теперь у нас есть выражение для суммарной скорости поездов в зависимости от времени t. Мы знаем, что поезда прибыли одновременно, поэтому можно найти t, приравняв выражение для V1 и V2:

520/(t + 5) + 25/(t - 5) = L/t

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной t. Решим его:

520/(t + 5) + 25/(t - 5) = 520/t

Умножим обе стороны на t(t + 5)(t - 5), чтобы избавиться от знаменателей:

520t(t - 5) + 25t(t + 5) = 520(t + 5)(t - 5)

Раскроем скобки и упростим:

520t^2 - 2600t + 25t^2 + 125t = 520(t^2 - 25)

545t^2 - 2600t + 125t = 520t^2 - 13000

Переносим все слагаемые на одну сторону:

545t^2 - 520t^2 - 2600t + 125t + 13000 = 0

25t^2 - 2600t + 125t + 13000 = 0

Упростим ещё:

t^2 - 104t + 5t + 520 = 0

t(t - 104) + 5(t - 104) = 0

(t - 104)(t + 5) = 0

Итак, у нас два возможных значения t: t = 104 и t = -5. Так как время не может быть отрицательным, мы выбираем t = 104 часа.

Теперь мы можем найти суммарную скорость поездов, подставив значение t в выражение для суммарной скорости:

Суммарная скорость = 520/(t + 5) + 25/(t - 5)

Суммарная скорость = 520/(104 + 5) + 25/(104 - 5)

Суммарная скорость = 520/109 + 25/99

Суммарная скорость ≈ 4.7706 + 0.2525 ≈ 5.0231 км/ч

Итак, суммарная скорость поездов составляет около 5.0231 км/ч.