Question

Возпользуйтесь треугольным неравенством и докажите что выполняется каждое a,b∈ℝ (дословный перевод может быть кривоватым)|4a-7b|≤4 |a|+7|b|

Answer 1

Согласно неравенству треугольника $\big(\forall x,y\in\mathbb{R}\big)\,|x+y|\leq |x|+|y|$.

Таким образом, $|4a-7b|=\big|4a+(-7b)\big|\leq |4a|+\big|(-7b)\big|=4|a|+7|b|$

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, воспользуемся треугольным неравенством для комплексных чисел, которое также справедливо для вещественных чисел.

Треугольное неравенство гласит: Для всех a и b из множества действительных чисел ℝ:

|a + b| ≤ |a| + |b|

Мы хотим доказать, что:

|4a - 7b| ≤ 4|a| + 7|b|

Сначала заметим, что мы можем представить |4a - 7b| как |4a + (-7b)| и применить треугольное неравенство:

|4a - 7b| = |4a + (-7b)| ≤ |4a| + |-7b|

Теперь, учитывая, что абсолютное значение любого числа равно абсолютному значению этого числа с противоположным знаком, мы можем записать:

|-7b| = 7|b|

Итак, мы получаем:

|4a - 7b| ≤ |4a| + 7|b|

Теперь, чтобы доказать исходное неравенство, нужно лишь заметить, что |4a| + 7|b| равно правой стороне исходного неравенства:

|4a - 7b| ≤ |4a| + 7|b|,

что и требовалось доказать. Таким образом, неравенство |4a - 7b| ≤ 4|a| + 7|b| верно для любых a и b из множества действительных чисел ℝ.