Question

Cos(2пx)-sin(пx)=0 В ответ сумму всех решений принадлежащих отрезку [0; 1]

Answer 1

Ответ:

1

Пошаговое объяснение:

cos(2Пx) - sin(Пx) = 0

По формуле косинуса двойного аргумента:

cos(2a) = 1 - 2sin^2 (a)

Подставляем:

1 - 2sin^2(Пx) - sin(Пx) = 0

2sin^2(Пx) + sin(Пx) - 1 = 0

(sin(Пx) + 1)(2sin(Пx) - 1) = 0

1) sin(Пx) = -1

Пx = 3П/2 + 2Пk; x1 = 3/2 + 2k, k ∈ Z

На отрезке [0; 1] решений нет.

2) sin(Пx) = 1/2

Пx = П/6 + 2Пn; x2 = 1/6 + 2n, n ∈ Z

На отрезке [0; 1] решение: x = 1/6

Пx = 5П/6 + 2Пn; x3 = 5/6 + 2n, n ∈ Z

На отрезке [0; 1] решение: x = 5/6

Сумма решений на отрезке [0; 1] : 1/6 + 5/6 = 1

Answer 2

Для решения уравнения $\cos(2\pi x) - \sin(\pi x) = 0$ на отрезке [0, 1] мы можем воспользоваться методом проб и ошибок, либо численными методами, такими как метод бисекции или метод Ньютона.

Однако, давайте попробуем найти аналитическое решение данного уравнения. Сначала рассмотрим уравнение $\cos(2\pi x) = \sin(\pi x)$.

Используя тригонометрические тождества $\cos(2\pi x) = 1 - 2\sin^2(\pi x)$ и $\sin(\pi x) = \sin^2(\pi x) + \cos^2(\pi x) = 1 - \cos^2(\pi x)$, мы можем переписать уравнение как:

$1 - 2\sin^2(\pi x) = 1 - \cos^2(\pi x)$

Подставляем $\cos(2\pi x) = 1 - 2\sin^2(\pi x)$ в это уравнение:

$1 - 2\sin^2(\pi x) = 1 - (1 - 2\sin^2(\pi x))^2$

Разрешим это уравнение:

$-2\sin^2(\pi x) = -2\sin^4(\pi x)$

Теперь делим обе стороны на -2:

$\sin^2(\pi x) = \sin^4(\pi x)$

Используем тождество $\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2\pi x)}{2} = \left(\frac{1 - \cos(4\pi x)}{2}\right)^2$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$1 - \cos(2\pi x) = \left(1 - \cos(4\pi x)\right)^2$

$1 - \cos(2\pi x) = 1 - 2\cos(4\pi x) + \cos^2(4\pi x)$

Подставляем $\cos(2\pi x) = 1 - 2\sin^2(\pi x)$:

$1 - (1 - 2\sin^2(\pi x)) = 1 - 2(1 - \cos(8\pi x)) + (1 - \cos(8\pi x))^2$

Упрощаем:

$2\sin^2(\pi x) = 2\cos(8\pi x) - 2\cos^2(8\pi x)$

Подставляем $\sin^2(\pi x) = 1 - \cos^2(\pi x)$ и упрощаем:

$2 - 2\cos^2(\pi x) = 2\cos(8\pi x) - 2(1 - \cos(8\pi x))^2$

$2 - 2\cos^2(\pi x) = 2\cos(8\pi x) - 2(1 - 2\cos(8\pi x) + \cos^2(8\pi x))$

$2 - 2\cos^2(\pi x) = 4\cos(8\pi x) - 4 + 2\cos^2(8\pi x)$

$4\cos^2(8\pi x) - 4\cos(8\pi x) + 2 - 2\cos^2(\pi x) = 0$

Решив это квадратное уравнение относительно $\cos(8\pi x)$, мы можем найти корни и затем найти соответствующие значения $x$ в пределах от 0 до 1. Однако, это уравнение сложно решить аналитически без использования численных методов. Поэтому, лучший способ решения этой задачи - использовать численные методы или компьютерные программы для нахождения корней данного уравнения.