Question

Найдите члены пропорции х1 : х2 = х3 : х4, в которой первый член на 6 больше второго, а третий на 5 больше четвёртого. Сумма квадратов всех членов равна 793.

Answer 1

Ответ:

Два варианта решения:

1) 18; 12; 15; 10

2) -12; -18; -10; -15

Пошаговое объяснение:

Пусть первый член пропорции будет Х, тогда второй член будет Х-6.

Пусть третий член пропорции будет Y, тогда четвёртый член будет Y-5.

Запишем отношение по условию пропорции.

х : (х-6) = у : (у - 5)

Сумма квадратов всех членов равна 793 (по условию). Запишем это.

x² + (x-6)² + y² + (y-5)² = 793

Составим систему уравнений:

$\left \{ {{x : (x-6) = y : (y - 5)} \atop {x^{2} + (x-6)^{2} + y^{2} + (y-5)^{2} = 793}} \right.$

Упростим первое уравнение:

х : (х-6) = у : (у - 5)

х(у-5) = у(х-6)

ху - 5х = ху - 6у

5х = 6у

х = 1,2у

Упростим второе уравнение:

x² + (x-6)² + y² + (y-5)² = 793

х² + х² - 12х + 36 + у² + у² - 10у + 25 = 793

2х² + 2у² - 12х - 10у = 732

х² + у² - 6х - 5у = 366

Подставим первое уравнение во второе:

(1,2у)² + у² - 6 · 1,2у - 5у = 366

1,44у² + у² - 7,2у - 5у = 366

2,44у² - 12,2у - 366 = 0

у² - 5у - 150 = 0

D = (-5)² - 4 · 1 · (-150) = 625

$\sqrt{D}$ = 25

у₁ = (-(-5) + 25) : 2 = 15

у₂ = (-(-5) - 25) : 2 = -10

Найдём Х.

х₁ = 1,2 · 15 = 18

х₂ = 1,2 · (-10) = -12

Первый вариант:

х = 18; у = 15

Тогда:

1 член пропорции = 18

2 член пропорции = 18-6 = 12

3 член пропорции = 15

4 член пропорции = 15 - 5 = 10

Проверка:

18 : 12 = 15 : 10

1,5 = 1,5

18² + 12² + 15² + 10² = 793

324 + 144 + 225 + 100 = 793

793 = 793

Второй вариант:

х = -12; у = -10

Тогда:

1 член пропорции = -12

2 член пропорции = -12 - 6 = -18

3 член пропорции = -10

4 член пропорции равен -10 - 5 = -15

Проверка:

-12 : (-18) = -10 : (-15)

2 : 3 = 2 : 3

(-12)² + (-18)² + (-10)² + (-15)² = 793

144 + 324 + 100 + 225 = 793

793 = 793

Таким образом, ответом будет два варианта:

1) 18; 12; 15; 10

2) -12; -18; -10; -15

Answer 2

Давайте обозначим члены пропорции следующим образом:

x1 = x x2 = x - 6 x3 = y x4 = y - 5

Мы знаем, что сумма квадратов всех членов равна 793:

x^2 + (x - 6)^2 + y^2 + (y - 5)^2 = 793

Теперь давайте решим это уравнение:

x^2 + (x^2 - 12x + 36) + y^2 + (y^2 - 10y + 25) = 793

Упростим уравнение:

2x^2 + 2y^2 - 12x - 10y + 61 = 793

Теперь выразим одну переменную через другую. Для этого давайте решим уравнение относительно x:

2x^2 - 12x + 2y^2 - 10y = 793 - 61

2x^2 - 12x + 2y^2 - 10y = 732

x^2 - 6x + y^2 - 5y = 366

x^2 - 6x + 9 + y^2 - 5y + 6.25 = 366 + 9 + 6.25

x^2 - 6x + 9 + y^2 - 5y + 6.25 = 381.25

(x - 3)^2 + (y - 2.5)^2 = 381.25

Теперь мы видим, что это уравнение представляет собой уравнение окружности в координатах (x, y) с центром в точке (3, 2.5) и радиусом √381.25.

Теперь, чтобы найти члены пропорции (x1, x2, x3, x4), мы можем выбрать любые два значения (x, y) на этой окружности. Например, давайте возьмем точки (0, 2.5) и (6, 2.5), так как они лежат на одной горизонтальной линии, и их x-координаты различаются на 6:

1. x1 = 0
2. x2 = 0 - 6 = -6
3. x3 = 6
4. x4 = 6 - 5 = 1

Таким образом, члены пропорции, удовлетворяющей заданным условиям, это (-6, 0, 6, 1).