Question

ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕДокажите, что число 3 ¹⁰⁰+ 1 делится на 2; б) число 9²⁰⁰⁰ – 7²⁰⁰⁰ на 10.​

Answer 1

При возведении нечётного числа в любую степень получим нечётное число. Если прибавить к нему единицу, число станет чётным (нечёт + нечёт = чёт).

----------------

Число 10 делится на 2 и на 5. Надо доказать, что наше число делится и на 2, и на 5. Разложим его по формуле разности квадратов:

$9^{2000}-7^{2000}=(9^{1000})^2-(7^{1000})^2=(9^{1000}-7^{1000})(9^{1000}+7^{1000})$

Докажем, что множитель $9^{1000}-7^{1000}$ делится на 10 (если один из множителей числа делится на $n$, в данном случае на 10, то и всё число делится на $n$)

$9^{1000}-7^{1000}=(9^2)^{500}-(7^4)^{250}=81^{500}-2401^{250}$

Число, которое оканчивается на 1, в любой степени оканчивается на 1, поэтому разность данных чисел оканчивается на нуль. Это признак деления на 10.

Answer 2

1) 3 в любой степени - нечетное число. Если прибавить 1, то получится четное, а значит делится на 2 - ч.т.д.

Можно привести доказательство в общем виде:

Чтобы число делилось на два, нужно чтобы последняя цифра этого числа была 0; 2; 4; 6 или 8

Проверим на какие цифры заканчивается 3 в натуральной степени

1) 3¹=3

2) 3²=9

3) 3³=...7

4) 3⁴=...1

5) 3⁵=...3

Начиная с пункта 5) цифры будут повторятся (3,9,7,1,3,9,7,1,3 и т.д.).

Как видим, все числа получаются нечетные, значит если к ним прибавить 1, то получатся цифры на конце 4; 0; 8; 2 то есть полученное число будет четным и поделится на 2 - ч.т.д.

2) Посмотрим на что оканчивается 9 в натуральной степени:

1) 9¹=9

2) 9²=...1

3) 9³=...9

Период повтора равен 2

Чтобы узнать на какую цифру оканчивается число 9²⁰⁰⁰ нужно 2000 поделить на период.

Если получится остаток, то смотрим на соответствующий пункт, если остатка нет, то смотрим на последний пункт периода

2000:4=500 (остаток 0)

Значит последняя цифра будет такая же как и 2) 9²=...1

Посмотрим на что оканчивается 7 в натуральной степени:

1) 7¹=7

2) 7²=...9

3) 7³=...3

4) 7⁴=...1

5) 7⁵=...7

Период 4

2000:4=500 (остаток 0)

Значит цифра на конце такая же как и 4) 7⁴=...1

Тогда

9²⁰⁰⁰-7²⁰⁰⁰=...1-...1=...0 - число оканчивается на 0, значит оно делится на 10 - ч.т.д.

Answer 3

Давайте рассмотрим оба случая:

a) Чтобы доказать, что число 3¹⁰⁰ + 1 делится на 2, нужно понять, что оно является четным числом. Это можно увидеть из формы числа 3¹⁰⁰. Когда число делится на 2, оно имеет вид 2n, где n - целое число. В нашем случае, 3¹⁰⁰ = 2 * (3⁹⁹), и оставшаяся единица (1) добавляет четность числу. Поэтому 3¹⁰⁰ + 1 является четным числом и делится на 2.

б) Чтобы доказать, что число 9²⁰⁰⁰ - 7²⁰⁰⁰ делится на 10, нам нужно понять, что остаток от деления этого числа на 10 равен 0. Для этого давайте рассмотрим последние цифры чисел 9²⁰⁰⁰ и 7²⁰⁰⁰.

Поскольку мы работаем с степенями, первая цифра каждого числа - 9 и 7 - нам не важна. Мы сосредоточимся на последних двух цифрах в каждом числе.

9² = 81 7² = 49

Теперь давайте рассмотрим, какие последние две цифры будут у чисел 9²⁰⁰⁰ и 7²⁰⁰⁰. Это можно сделать, посмотрев на последние две цифры для каждой из степеней:

9²⁰⁰⁰ = (9²)⁽¹⁰⁰⁰) = (81)⁽¹⁰⁰⁰) 7²⁰⁰⁰ = (7²)⁽¹⁰⁰⁰) = (49)⁽¹⁰⁰⁰)

Теперь давайте рассмотрим, как эти числа оканчиваются:

(81)⁽¹⁰⁰⁰) - последние две цифры будут 81. (49)⁽¹⁰⁰⁰) - последние две цифры будут 01.

Таким образом, 9²⁰⁰⁰ - 7²⁰⁰⁰ будет иметь последние две цифры 81 - 01, что равно 80. Из этого следует, что число 9²⁰⁰⁰ - 7²⁰⁰⁰ делится на 10, так как оно имеет 0 в качестве последней цифры и, следовательно, остаток от деления на 10 равен 0.