Question

здравствуйте, может кто-нибудь объяснить, почему равенство sin(3z) - cos(3z) = sqrt(3/2) эквивалентно равенству sin(3z) * sqrt(2) / 2 - cos(3z) * sqrt(2) / 2 = sqrt(3/2)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Нам надо свести эти два уравнения к одинаковым, тогда записи равнозначны.

1) sin(3z) - cos(3z) = √(3/2) = √3/√2 = √6/2

В левой части умножим и разделим каждое слагаемое на √2:

√2*(1/√2)*sin(3z) - √2*(1/√2)*cos(3z) = √6/2

Выносим √2 за скобки и применяем

sin(Π/4) = cos(Π/4) = 1/√2 = √2/2:

√2*(sin(3z)*cos(Π/4) - cos(3z)*sin(Π/4) ) = √6/2

Это формула синуса разности:

√2*sin(3z - Π/4) = √6/2

sin(3z - Π/4) = √6/(2√2) = √3/2

Получили элементарное уравнение, решение которого известно.

2) sin(3z)*√2/2 - cos(3z)*√2/2 = √(3/2)

Здесь опечатка. Справа должно быть √3/2. Тогда:

sin(3z)*cos(Π/4) - cos(3z)*sin(Π/4) = √3/2

sin(3z - Π/4) = √3/2

Получили такое же элементарное уравнение.

Значит, эти уравнения равнозначны.

Можно его решить, будет два решения:

1) 3z - Π/4 = Π/3 + 2Πn, n € Z

3z = Π/3 + Π/4 + 2Πn = 7Π/12 + 2Πn, n € Z

z1 = 7Π/36 + 2Π/3*n, n € Z - ЭТО РЕШЕНИЕ

2) 3z - Π/4 = 2Π/3 + 2Πk, k € Z

3z = 2Π/3 + Π/4 + 2Πk = 11Π/12 + 2Πk, k € Z

z2 = 11Π/36 + 2Π/3*k, k € Z - ЭТО РЕШЕНИЕ

Answer 2

Давайте разберемся с этим равенством шаг за шагом.

Исходное равенство: sin(3z) - cos(3z) = sqrt(3/2)

Теперь давайте домножим обе стороны на sqrt(2)/2:

(sin(3z) - cos(3z)) * (sqrt(2)/2) = sqrt(3/2) * (sqrt(2)/2)

Сначала упростим правую сторону:

sqrt(3/2) * (sqrt(2)/2) = (sqrt(3/2) * sqrt(2)) / 2

Теперь воспользуемся свойством корней: sqrt(3/2) * sqrt(2) = sqrt((3/2) * 2) = sqrt(3)

Итак, правая сторона равенства становится sqrt(3) / 2. Теперь вернемся к левой стороне:

(sin(3z) - cos(3z)) * (sqrt(2)/2)

Теперь мы можем распределить sqrt(2)/2 по обоим членам:

(sin(3z) * (sqrt(2)/2)) - (cos(3z) * (sqrt(2)/2))

Так как sqrt(2)/2 равно 1/√2, то мы можем записать это как:

(sin(3z) * 1/√2) - (cos(3z) * 1/√2)

И это можно упростить до:

(sin(3z) / √2) - (cos(3z) / √2)

Теперь у нас получилась правая сторона:

(sqrt(3) / 2) = (sin(3z) / √2) - (cos(3z) / √2)

Итак, мы видим, что исходное равенство sin(3z) - cos(3z) = sqrt(3/2) действительно эквивалентно равенству sin(3z) * sqrt(2) / 2 - cos(3z) * sqrt(2) / 2 = sqrt(3/2).