Question

Натуральные числа x,y,z таковы, что x²+y²=z². Докажите, что xyz делится на а)3, б)5, в)4

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) Докажем, что квадрат натурального числа не может дать в остатке 2 при делении на 3

а≡0(mod 3)⇒a²≡0(mod 3)

а≡(±1)(mod 3)⇒a²≡(±1)²≡1(mod 3)

x²+y²-z²=0≡0(mod3) значит по крайней мере одно из чисел x, y, z должно делится на три. Из чего следует делимость на три числа xyz

2) Пусть xyz не  делится на 5. Тогда ни одно из чисел x, y, z не делится на 5

а≡0(mod 5)⇒a²≡0(mod 5)

а≡(±1)(mod 5)⇒a²≡(±1)²≡1(mod 5)

а≡(±2)(mod 5)⇒a²≡(±2)²≡4≡-1(mod 5)

Значит, если ни одно из чисел x, y, z не делится на 5, то должно выполнится равенство

x²+y²-z²≡±1±1±1≡0(mod 5)

А это не возможно.

3) Если среди чисел x, y, z по крайней мере два четных, или есть одно делящееся на 4 тогда xyz делится на 4. Пусть их будет не более одного и это чётное число не делится на 4.

То что в равенстве x²+y²=z² все три числа x, y, z не могут быть нечетными очевидно.

Остается рассмотреть случай того что среди чисел x, y, z одно четное не делящееся на 4

а) x, y- нечётные, z-чётное

x=2n+1, y=2k+1, z=2m

x²+y²=(2n+1)²+(2k+1)²=4(n²+n+k²+k)+2≡2(mod4)

z²=(2m)²=4m²≡0(mod4)

Равенство не возможно.

б) одно из чисел x, y не чётные, другое нечётное, z-нечётное

(2n+1)²+(2m)²=(2k+1)²,  m-не делится на 2

m²=k²+k-n²-n=(k-n)(k-n+1)

Но числа (k-n)  и  (k-n+1) разной чётности. Значит одно из них чётно.

Тогда и число m² чётно⇒m-чётное.

Получили противоречие.

Значит  делится на 4

Ч.т.д.

Answer 2

Для начала давайте рассмотрим каждое из условий:

а) Доказательство того, что xyz делится на 3:

Чтобы доказать, что xyz делится на 3, мы можем рассмотреть три случая:

1. x, y и z делятся на 3.
2. Только два из чисел (например, x и y) делятся на 3.
3. Только од из чисел (например, x) делится на 3.

В первом случае очевидно, что xyz делится на 3, так как произведение трех чисел, каждое из которых делится на 3, также делится на 3.

Во втором случае, допустим, что x и y делятся на 3, но z не делится на 3. Это означает, что x² и y² также делятся на 3 (так как квадрат числа, делящегося на 3, также делится на 3). Затем x² + y² делится на 3, так как сумма двух чисел, каждое из которых делится на 3, делится на 3. Теперь рассмотрим уравнение x² + y² = z². Если левая сторона делится на 3, то и правая сторона (z²) также делится на 3. Это означает, что z делится на 3, и, следовательно, xyz делится на 3.

В третьем случае, допустим, что только x делится на 3, но y и z не делятся на 3. Тогда x² делится на 3 (как и во втором случае), и x² + y² также делится на 3. Затем, как и ранее, мы приходим к выводу, что z делится на 3, и xyz делится на 3.

Таким образом, во всех трех случаях xyz делится на 3.

б) Доказательство того, что xyz делится на 5:

Для того чтобы xyz делилось на 5, x² + y² и z² должны делиться на 5. Давайте рассмотрим все возможные остатки от деления натуральных чисел на 5:

0² ≡ 0 (mod 5) 1² ≡ 1 (mod 5) 2² ≡ 4 (mod 5) 3² ≡ 4 (mod 5) 4² ≡ 1 (mod 5)

Из этой таблицы видно, что квадраты натуральных чисел дают остатки 0, 1 или 4 при делении на 5. Теперь рассмотрим уравнение x² + y² = z²:

Если как x, так и y делятся на 5, то их квадраты будут иметь остаток 0 при делении на 5, и их сумма также будет иметь остаток 0 при делении на 5.

Если только одно из чисел x и y делится на 5, то его квадрат будет иметь остаток 0 при делении на 5, и его сумма с квадратом другого числа также будет иметь остаток 0 при делении на 5.

Если ни x, ни y не делятся на 5, то оба квадрата будут иметь остаток 1 или 4 при делении на 5, и их сумма будет иметь остаток 2 или 3 при делении на 5. В этом случае z² также будет иметь остаток 2 или 3 при делении на 5.

Таким образом, в любом случае x² + y² и z² либо оба имеют остаток 0 при делении на 5, либо оба имеют остаток 2 или 3. В любом случае произведение xyz делится на 5.

в) Доказательство того, что xyz делится на 4:

Для того чтобы xyz делилось на 4, мы можем рассмотреть два случая:

1. Хотя бы одно из чисел x или y делится на 2.
2. Ни одно из чисел x и y не делится на 2, но z делится на 2.

В первом случае, если хотя бы одно из чисел x или y делится на 2, то их произведение xy также будет делиться на 2, и xyz будет делиться на 2.

Во втором случае, если z делится на 2, то его квадрат z² также будет делиться на 4 (как и любое четное число). Поэтому, даже если x² + y² не делится на 4, xyz все равно будет делиться на 4.

Таким образом, в обоих случаях, xyz делится на 4.

В результате мы доказали, что во всех трех случаях (a, б и в) xyz делится на указанные числа (3, 5 и 4).