Question

Докажите что четырехзначное число делится на 11, тогда и только тогда, когда его знакопеременная сумма делиться на 11

Answer 1

Пусть наше число = x + 10y + 100z + 1000q, где x,y,z,q эго цифры

Запишем наше число так :

x + (11y - y) + (99z + z) + (1001q - q) = 11(y+ 9z+91q) + (x - y + z - q)

Заметим, что наше число будет делиться на 11,

тогда и только когда x - y + z - q (что и является знакопеременной суммой нашего числа) будет делиться на 11,

Answer 2

Чтобы доказать данное утверждение, мы можем воспользоваться свойствами деления на 11.

Пусть дано четырехзначное число ABCD, где A, B, C и D - цифры числа (A - тысячи, B - сотни, C - десятки, D - единицы).

Сначала давайте выразим число ABCD через его цифры:

ABCD = 1000A + 100B + 10C + D

Теперь, найдем его знакопеременную сумму (разницу между суммой четных и нечетных разрядов):

Сумма четных разрядов: 1000A + 10C Сумма нечетных разрядов: 100B + D

Знакопеременная сумма = (1000A + 10C) - (100B + D) = 1000A - 100B + 10C - D

Мы знаем, что число ABCD делится на 11, если разница между суммой его четных и нечетных разрядов также делится на 11. Из нашего выражения для знакопеременной суммы видно, что:

(1000A - 100B + 10C - D) делится на 11

Извлекая 10 из каждого члена этой суммы, получаем:

10(100A - 10B + C) - D

Теперь видно, что это выражение также делится на 11, так как 10 делится на 11. То есть, если знакопеременная сумма (1000A - 100B + 10C - D) делится на 11, то и число ABCD также делится на 11.

Обратно, если число ABCD делится на 11, то знакопеременная сумма (1000A - 100B + 10C - D) также делится на 11.

Таким образом, четырехзначное число делится на 11, тогда и только тогда, когда его знакопеременная сумма делится на 11.

Answer 3

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим четырехзначное число, представленное в виде $ABCD$, где $A$, $B$, $C$ и $D$ - это цифры числа.

Чтобы убедиться, что четырехзначное число делится на 11, мы можем использовать следующее правило: четырехзначное число делится на 11, если и только если разница между суммой цифр в нечетных позициях (A и C) и суммой цифр в четных позициях (B и D) также делится на 11. Формально это можно записать следующим образом:

Число $ABCD$ делится на 11 тогда и только тогда, когда $(A - B + C - D)$ делится на 11.

Давайте рассмотрим два случая:

1. Если $(A - B + C - D)$ делится на 11, то число $ABCD$ также делится на 11.

   Это следует из того, что разница между суммой цифр в нечетных позициях и суммой цифр в четных позициях делится на 11. Из этого следует, что число $ABCD$ делится на 11.

2. Если число $ABCD$ делится на 11, то $(A - B + C - D)$ также делится на 11.

   Это следует из обратного утверждения: если число $ABCD$ делится на 11, то разница между суммой цифр в нечетных позициях и суммой цифр в четных позициях делится на 11.

Таким образом, мы доказали, что четырехзначное число делится на 11 тогда и только тогда, когда его знакопеременная сумма (разница) делится на 11.