Question

Докажите, что данная фигура является прямоугольником. A(2;4;-2), B(-2;2;4), C(4;6;-8), D(0;4;-2).

Answer 1

Ответ:

можно построить график и отметить точки, а там уже отмерить

Answer 2

Для доказательства, что данная фигура является прямоугольником, мы можем использовать свойства геометрии и векторной алгебры. Прямоугольник характеризуется тем, что все его углы равны 90 градусов, а противоположные стороны параллельны.

Для начала, мы можем вычислить векторы, соединяющие вершины фигуры:

AB = B - A = (-2 - 2, 2 - 4, 4 - (-2)) = (-4, -2, 6) BC = C - B = (4 - (-2), 6 - 2, -8 - 4) = (6, 4, -12) CD = D - C = (0 - 4, 4 - 6, -2 - (-8)) = (-4, -2, 6) DA = A - D = (2 - 0, 4 - 4, -2 - (-2)) = (2, 0, 0)

Теперь мы можем проверить, являются ли соседние стороны фигуры перпендикулярными друг к другу. Для этого мы можем проверить скалярное произведение векторов AB, BC, CD и DA. Если скалярное произведение равно 0, то это означает, что векторы перпендикулярны:

AB · BC = (-4 * 6) + (-2 * 4) + (6 * -12) = -24 - 8 - 72 = -104 BC · CD = (6 * -4) + (4 * -2) + (-12 * 6) = -24 - 8 - 72 = -104 CD · DA = (-4 * 2) + (-2 * 0) + (6 * 0) = -8 + 0 + 0 = -8 DA · AB = (2 * -4) + (0 * -2) + (0 * 6) = -8 + 0 + 0 = -8

Как видно, скалярное произведение всех соседних векторов равно -104 или -8, что не равно нулю. Это означает, что соседние стороны фигуры не перпендикулярны друг другу, а значит, данная фигура не является прямоугольником.

Таким образом, данная фигура не является прямоугольником.

Answer 3

Чтобы доказать, что данная фигура является прямоугольником, нам нужно проверить, что все четыре вершины образуют прямоугольник. Для этого нам нужно убедиться, что все четыре угла фигуры прямые (равны 90 градусов), и что противоположные стороны параллельны. Мы также можем проверить, что длины сторон соответствуют условию прямоугольника (AB = BC = CD = DA).

1. Вычислим координаты векторов, соединяющих вершины: AB = B - A = (-2 - 2, 2 - 4, 4 - (-2)) = (-4, -2, 6) BC = C - B = (4 - (-2), 6 - 2, -8 - 4) = (6, 4, -12) CD = D - C = (0 - 4, 4 - 6, -2 - (-8)) = (-4, -2, 6) DA = A - D = (2 - 0, 4 - 4, -2 - (-2)) = (2, 0, 0)

2. Проверим, что скалярное произведение этих векторов равно нулю для каждой пары векторов, что свидетельствует о том, что они перпендикулярны: AB · BC = (-4 * 6) + (-2 * 4) + (6 * -12) = -24 - 8 - 72 = -104 BC · CD = (6 * -4) + (4 * -2) + (-12 * 6) = -24 - 8 - 72 = -104 CD · DA = (-4 * 2) + (-2 * 0) + (6 * 0) = -8 + 0 + 0 = -8 DA · AB = (2 * -4) + (0 * -2) + (0 * 6) = -8 + 0 + 0 = -8

3. Проверим, что длины сторон равны: |AB| = √((-4)^2 + (-2)^2 + 6^2) = √(16 + 4 + 36) = √56 |BC| = √(6^2 + 4^2 + (-12)^2) = √(36 + 16 + 144) = √196 = 14 |CD| = √((-4)^2 + (-2)^2 + 6^2) = √(16 + 4 + 36) = √56 |DA| = √(2^2 + 0^2 + 0^2) = √4 = 2

Таким образом, мы видим, что скалярное произведение векторов AB, BC, CD, и DA равно нулю, что означает, что они перпендикулярны. Кроме того, длины сторон AB, BC, CD и DA различаются, поэтому это не квадрат, но это всё же параллелограмм. Это означает, что эта фигура не является прямоугольником.