Question

На фирме работают 75 человек. Из них 48 знают английский язык, 39 немецкий язык. Сколько сотрудников фирмы знают оба языка?​

Answer 1

1) $39+48=87$ человек со знанием либо одного, либо нескольких языков.

2) $87-75=12$ человек - знают оба языка.

Ответ: 12 сотрудников.

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой включения-исключения. По формуле включения-исключения общее количество людей, знающих английский или немецкий язык, равно сумме количества людей, знающих английский, и количества людей, знающих немецкий, за вычетом количества людей, знающих оба языка.

Формула выглядит следующим образом:

\[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \]

где: - \( n(A \cup B) \) - общее количество людей, знающих английский или немецкий, - \( n(A) \) - количество людей, знающих английский, - \( n(B) \) - количество людей, знающих немецкий, - \( n(A \cap B) \) - количество людей, знающих оба языка.

Исходные данные: - \( n(A) = 48 \) (люди, знающие английский), - \( n(B) = 39 \) (люди, знающие немецкий).

Подставим значения в формулу:

\[ n(A \cup B) = 48 + 39 - n(A \cap B) \]

Теперь у нас есть еще одна известная величина - общее количество сотрудников фирмы (\( n(\text{всего}) \)), которое равно 75.

\[ n(\text{всего}) = n(A \cup B) + n(\text{другие языки}) \]

где \( n(\text{другие языки}) \) - количество сотрудников, не знающих ни английский, ни немецкий.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[ 75 = 48 + 39 - n(A \cap B) + n(\text{другие языки}) \]

Теперь мы можем выразить \( n(A \cap B) \):

\[ n(A \cap B) = 48 + 39 + n(\text{другие языки}) - 75 \]

Теперь нам нужно учесть, что количество людей, знающих английский или немецкий, не может превышать общее количество сотрудников (75 человек). Таким образом, \( n(\text{другие языки}) \) не может быть отрицательным.

\[ 0 \leq n(\text{другие языки}) \leq 75 \]

Таким образом, общее количество сотрудников, знающих оба языка, \( n(A \cap B) \), должно быть в пределах от 0 до минимума из \( n(A) \) и \( n(B) \). Так как \( n(A) = 48 \) и \( n(B) = 39 \), минимум из них - это 39.

\[ 0 \leq n(A \cap B) \leq 39 \]

Таким образом, количество сотрудников, знающих оба языка, находится в интервале от 0 до 39.