Question

Среди сотрудников фирмы семнадцать человек знают английский язык, десять - немецкий, семеро- французский. Три человека знают английский и французский, два- немецкий и французский, четверо- английский и немецкий. 1) Сколько человек работает в фирме, если каждый знает хотя бы один язык, а два человека знают все три языка? 2) Сколько сотрудников., не знаюших ни одного иностранного языка, если в фирме работает тридцать человек и никто из них не знает всех трех языков? с объяснениям​

Answer 1

Ответ:

а) 27 б) 5

Пошаговое объяснение:

а) Можно было бы использовать готовые формулы, но покажу решение с объяснением.

По знанию языков сотрудники фирмы попадают в одну из восьми групп, которые не пересекаются друг с другом:

1. не знают ни одного языка

2. знают только английский

3. знают только немецкий

4. знают только французский

5. знают только английский и французский

6. знают только английский и немецкий

7. знают только французский и немецкий

8. знают все три языка

Определим из условия задачи численный состав этих групп.

Группа 1 по условию равна 0.

Группа 8 по условию равна 2.

Группа 5 равна 1 (три человека знают английский и французский, но из них двое входят в группу 8).

Группа 6 равна 4 - 2 = 2

Группа 7 равна 2 - 2 = 0

Группа 2 равна 17 - 1 - 2 - 2 = 12 (из всех знающих английский вычитаем тех, кто в дополнение к нему знает еще французский или немецкий или их оба)

Группа 3 равна 10 - 2 - 0 - 2 = 6

Группа 4 равна 7 - 1 - 0 - 2 = 4

Сложим количество людей во всех группах и получим численный состав фирмы:

0 + 2 + 1 + 2 + 0 + 12 + 6 + 4 = 27

б) Теперь Группа 1 = x, Группа 8 = 0

Группа 5 = 3

Группа 6 = 4

Группа 7 = 2

Группа 2 = 17 - 3 - 4 - 0 = 10

Группа 3 = 10 - 4 - 2 = 4

Группа 4 = 7 - 3 - 2 = 2

Получаем уравнение

x + 0 + 3 + 4 + 2 + 10 + 4 + 2 = 30

x = 5

Answer 2

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим множества:

- \( A \) - сотрудники, знающие английский, - \( B \) - сотрудники, знающие немецкий, - \( C \) - сотрудники, знающие французский.

Также обозначим:

- \( A \cap B \) - сотрудники, знающие английский и немецкий, - \( A \cap C \) - сотрудники, знающие английский и французский, - \( B \cap C \) - сотрудники, знающие немецкий и французский.

И, наконец,

- \( A \cap B \cap C \) - сотрудники, знающие все три языка.

Теперь у нас есть следующие данные:

1. \( |A| = 17 \) - 17 сотрудников знают английский, 2. \( |B| = 10 \) - 10 сотрудников знают немецкий, 3. \( |C| = 7 \) - 7 сотрудников знают французский, 4. \( |A \cap C| = 3 \) - 3 сотрудника знают английский и французский, 5. \( |B \cap C| = 2 \) - 2 сотрудника знают немецкий и французский, 6. \( |A \cap B| = 4 \) - 4 сотрудника знают английский и немецкий.

Теперь решим вопросы:

1. Сколько человек работает в фирме, если каждый знает хотя бы один язык, а два человека знают все три языка?

Общее количество сотрудников, знающих хотя бы один язык:

\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \]

Подставляем значения:

\[ |A \cup B \cup C| = 17 + 10 + 7 - 4 - 3 - 2 + 0 = 25 \]

Таким образом, в фирме работает 25 сотрудников.

2. Сколько сотрудников не знают ни одного иностранного языка, если в фирме работает 30 человек и никто из них не знает всех трех языков?

Пусть \( X \) - сотрудники, не знающие ни одного иностранного языка. Тогда:

\[ |X| = |U| - |A \cup B \cup C| \]

где \( |U| \) - общее количество сотрудников, равное 30.

Подставим значения:

\[ |X| = 30 - 25 = 5 \]

Таким образом, 5 сотрудников не знают ни одного иностранного языка.