Question

В восьмом классе учится 40 человек. Каждый из них изучает не менее одного иностранного языка: английский, немецкий, французский. 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий. 25 человек — хотя бы один из языков: немецкий, французский. 6 человек только немецкий. Одновременно два языка — английский и немецкий — изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий языки. Сколько человек изучает каждый из языков?

Answer 1

34 человека изучают хотя бы англ и нем,
значит 6 человек не изучают англ. и нем. ,
они изучают только один язык -- французский.
25 человек изучают хотя бы один из двух языков: немецк. и французский. из них 6 -- только французский. значит 19 изучают немецкий, и некоторые из них -- еще и французский. один немецкий -- 6 человек,
поэтому 19-6=13 изучают француский и немецкий вместе (и некоторые из них еще и английский) .
Поэтому английский и немецкий изучают на 2 человека больше, а именно 15.

Answer 2

Давайте обозначим количество учащихся, изучающих каждый из языков:

- Пусть \(А\) - количество учеников, изучающих английский язык, - \(Н\) - количество учеников, изучающих немецкий язык, - \(Ф\) - количество учеников, изучающих французский язык.

Из условия задачи у нас есть следующая информация:

1. Всего в восьмом классе учится 40 человек: \(А + Н + Ф = 40\).

2. 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: английский или немецкий. Это можно выразить следующим образом: \(А + Н - (А \cap Н) + Ф = 34\).

3. 25 человек изучают хотя бы один из языков: немецкий или французский. Это можно выразить как: \(А + (Н \cap Ф) + Ф = 25\).

4. 6 человек изучают только немецкий язык: \(Н \setminus (А \cap Н) = 6\).

5. Одновременно два языка (английский и немецкий) изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий: \((А \cap Н) + (А \cap Ф) + (Н \cap Ф) = (Н \cap Ф) + 3\).

Теперь решим систему уравнений:

\[ \begin{align*} &\begin{cases} А + Н + Ф &= 40 \\ А + Н - (А \cap Н) + Ф &= 34 \\ А + (Н \cap Ф) + Ф &= 25 \\ Н \setminus (А \cap Н) &= 6 \\ (А \cap Н) + (А \cap Ф) + (Н \cap Ф) &= (Н \cap Ф) + 3 \end{cases} \end{align*} \]

Решение этой системы уравнений даст нам значения \(А\), \(Н\), и \(Ф\) — количество учеников, изучающих каждый из языков.