Question

Треугольник задан тремя вершинами A(3,5) B(6,-3) C(-4,-6) Найти: 1)Уравнение прямой CN, параллельной стороне AB 2)Уравнение медианы BM 3)Уравнение высоты AH 4)Угол C

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника A(3,5) B(6,-3) C(-4,-6).

Найти:

1) Уравнение прямой CN, параллельной стороне AB.

Вектор АВ = (6-3; -3-5) = (3; -8).

Этот вектор параллелен CN и в уравнении сохраняется.

CN: (x + 4)/3 = (y + 6)/(-8).

2) Уравнение медианы BM,

Точка М = (A(3,5) + C(-4,-6))/2 = (-0,5; -0,5).

Вектор ВМ = ((-0,5-6); (-0,5-(-3)) = (-6,5; 2,5).

Уравнение ВМ: (x - 6)/(-6,5) = (y + 3)/2,5.

3) Уравнение высоты AH.

Она перпендикулярна стороне ВС.

Вектор ВС = (-4-6; -6-(-3)) = (-10; -3).

Для прямой АН он будет нормальным вектором.

Уравнение АН: -10*(x - 3) - 3*(y -5) = 0,

                           -10x + 30 - 3y + 15 = 0,

                           10x + 3y - 45 = 0.

4) Угол C. Находим векторы СА и СВ.

СА = (3-(-4); 5-(-6)) = (7; 11),  модуль = √(49+121) = √170.

СВ = (6-(-4; -3-6) = (10; -9). модуль = √(100+81) = √181.

cos C = (7*10 + 11*(-9))/(√170*√181) = 0,756658.

C = arccos 0,756658 = 0,71261 радиан или 40,8296 градуса.

Answer 2

Давайте решим каждую задачу по порядку:

1) Уравнение прямой CN, параллельной стороне AB:

Сначала найдем угловой коэффициент прямой, параллельной стороне AB. Угловой коэффициент прямой можно найти, используя формулу:

\[k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\]

где \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) - координаты двух точек на прямой.

Для стороны AB возьмем точки A(3,5) и B(6,-3):

\[k_{AB} = \frac{-3 - 5}{6 - 3} = \frac{-8}{3}.\]

Теперь, так как прямая CN параллельна стороне AB, ее угловой коэффициент также будет равен \(\frac{-8}{3}\). Используем координаты точки C(-4,-6) для нахождения уравнения прямой:

\[y - y_1 = k(x - x_1),\]

где \( (x_1, y_1) \) - координаты точки C. Подставим значения:

\[y + 6 = \frac{-8}{3}(x + 4).\]

Упростим уравнение:

\[3y + 18 = -8x - 32.\]

\[8x + 3y = -50.\]

Таким образом, уравнение прямой CN, параллельной стороне AB, равно \(8x + 3y = -50.\)

2) Уравнение медианы BM:

Медиана BM делит сторону AC пополам, поэтому координаты точки M - это среднее арифметическое координат точек A и C:

\[M\left(\frac{3 - 4}{2}, \frac{5 - 6}{2}\right) = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}).\]

Теперь мы можем использовать уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным отношению изменения y к изменению x:

\[y - y_1 = k(x - x_1).\]

Подставим значения:

\[y + \frac{1}{2} = \frac{-8}{3}(x + \frac{1}{2}).\]

Упростим уравнение:

\[3y + 1 = -8x - 4.\]

\[8x + 3y = -5.\]

Таким образом, уравнение медианы BM равно \(8x + 3y = -5.\)

3) Уравнение высоты AH:

Для нахождения уравнения высоты AH, нам нужно найти уравнение прямой, перпендикулярной стороне BC, проходящей через точку A.

Сначала найдем угловой коэффициент стороны BC:

\[k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{(-6) - (-3)}{(-4) - 6} = \frac{-3}{-10} = \frac{3}{10}.\]

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной стороне BC, будет отрицательным обратным:

\[k_{AH} = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{1}{\frac{3}{10}} = -\frac{10}{3}.\]

Теперь, используя координаты точки A(3,5), мы можем записать уравнение прямой:

\[y - y_1 = k(x - x_1).\]

Подставим значения:

\[y - 5 = -\frac{10}{3}(x - 3).\]

Упростим уравнение:

\[3y - 15 = -10x + 30.\]

\[10x + 3y = 45.\]

Таким образом, уравнение высоты AH равно \(10x + 3y = 45.\)

4) Угол C:

Для нахождения угла C в треугольнике ABC, мы можем использовать тригонометрию. Угол C будет равен арктангенсу отношения высоты к основанию треугольника.

Высоту треугольника можно найти как расстояние от точки A до прямой BC. Используем формулу для расстояния от точки \((x_0, y_0)\) до прямой \(Ax + By + C = 0\):

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.\]

В данном случае у нас уравнение высоты AH: \(10x + 3y - 45 = 0\), и точка A(3,5). Подставим значения:

\[d = \frac{|10 \cdot 3 + 3 \cdot 5 - 45|}{\sqrt{10^2 + 3^2}} = \frac{|15|}{\sqrt{109}}.\]

Теперь мы можем использовать тангенс угла C:

\[\tan(C) = \frac{\text{высота}}{\text{основание}} = \frac{d}{\frac{1}{2} \cdot |BC|}.\]

\[C = \arctan\left(\frac{2d}{|BC|}\right).\]

Подставим значения:

\[C = \arctan\left(\frac{2 \cdot \frac{15}{\sqrt{109}}}{\sqrt{(-4 - 6)^2 + (-6 - (-3))^2