Question

Треугольник задан вершинами А (7; —6), В(—2; —2) и С(1; 2). Найти: 1) уравнение прямой AM, параллельной стороне ВС; 2) уравнение медианы AD 3) уравнение высоты BF; 4) угол В

Answer 1

Решение в прикрепленном файле.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится знание некоторых основных свойств треугольников, а также формулы для нахождения уравнений прямых, медиан и высот.

Уравнение прямой AM, параллельной стороне ВС:

Для нахождения уравнения прямой AM, параллельной стороне ВС, нам понадобится знание того, что параллельные прямые имеют одинаковый наклон. Также, нам понадобится точка M, которая является серединой стороны ВС.

1. Найдем координаты точки M: Для этого, найдем среднее арифметическое координат точек В и С: xM = (xB + xC) / 2 = (-2 + 1) / 2 = -1/2 yM = (yB + yC) / 2 = (-2 + 2) / 2 = 0

Таким образом, координаты точки M равны M(-1/2, 0).

2. Найдем угловой коэффициент прямой ВС. Угловой коэффициент прямой можно найти, используя формулу: m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Подставим координаты точек В и С: m = (2 - (-2)) / (1 - (-2)) = 4 / 3

3. Уравнение прямой AM: Так как прямая AM параллельна стороне ВС, она имеет такой же угловой коэффициент, как и ВС. Используя формулу уравнения прямой (y - y1) = m(x - x1), подставим координаты точки M: (y - 0) = (4/3)(x - (-1/2)) y = (4/3)x + 2/3

Таким образом, уравнение прямой AM, параллельной стороне ВС, равно y = (4/3)x + 2/3.

Уравнение медианы AD:

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

1. Найдем координаты точки D: Для этого, найдем среднее арифметическое координат точек A и C: xD = (xA + xC) / 2 = (7 + 1) / 2 = 4 yD = (yA + yC) / 2 = (-6 + 2) / 2 = -2

Таким образом, координаты точки D равны D(4, -2).

2. Найдем уравнение прямой AD: Для этого, используем формулу уравнения прямой (y - y1) = m(x - x1), где m - угловой коэффициент прямой. Угловой коэффициент можно найти, используя координаты точек A и D: m = (yD - yA) / (xD - xA) = (-2 - (-6)) / (4 - 7) = 4/3

Подставим координаты точки D и угловой коэффициент в формулу: (y - (-2)) = (4/3)(x - 4) y + 2 = (4/3)x - 16/3 y = (4/3)x - 22/3

Таким образом, уравнение медианы AD равно y = (4/3)x - 22/3.

Уравнение высоты BF:

Высота треугольника - это отрезок, проведенный из вершины треугольника, перпендикулярный противоположной стороне и проходящий через середину этой стороны.

1. Найдем координаты точки F: Для этого, найдем среднее арифметическое координат точек B и C: xF = (xB + xC) / 2 = (-2 + 1) / 2 = -1/2 yF = (yB + yC) / 2 = (-2 + 2) / 2 = 0

Таким образом, координаты точки F равны F(-1/2, 0).

2. Найдем уравнение прямой BF: Для этого, найдем угловой коэффициент прямой CF. Угловой коэффициент можно найти, используя координаты точек C и F: m = (yF - yC) / (xF - xC) = (0 - 2) / (-1/2 - 1) = -2 / (-3/2) = 4/3

Так как высота треугольника перпендикулярна стороне ВС, то угловой коэффициент прямой BF будет равен -1/m. То есть, угловой коэффициент прямой BF равен -3/4.

Используя формулу уравнения прямой (y - y1) = m(x - x1), подставим координаты точки F и угловой коэффициент: (y - 0) = (-3/4)(x - (-1/2)) y = (-3/4)x + 3/8

Таким образом, уравнение высоты BF равно y = (-3/4)x + 3/8.

Угол В:

Чтобы найти угол B, нам понадобятся знания о тригонометрии и формулах для нахождения углов в треугольнике.

1. Найдем длины сторон треугольника: Для этого, используем формулу расстояния между двумя точками: AB = √((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2) = √((-2 - 7)^2 + (-2 - (-6))^2) = √((-9)^2 + 4^2) = √(81 + 16) = √97

BC = √((xC - xB)^2 + (yC - yB)^2) = √((1 - (-2))^2 + (2 - (-2))^2) = √((3)^2 + (4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

AC = √((xC - xA)^2 + (yC - yA)^2) = √((1 - 7)^2 + (2 - (-6))^2) = √((-6)^2 + 8^2) = √(36 + 64) = √100 = 10

2. Используем закон косинусов для нахождения угла B: В треугольнике ABC: cos(B) = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 * AC * BC)

Подставим значения длин сторон треугольника: cos(B) = (10^2 + 5^2 - √97^2) / (2 * 10 * 5)