Question

Найдите все тройки простых чисел pp, qq и rr такие, что число p4+q4+r4−3 также является простым.​

Answer 1

Ответ:

2,3,5

Пошаговое объяснение:

Пусть s = p

4 + q

4 + r

4 − 3 — простое число. s > 2

4 − 3 = 13, поэтому s

нечетно и s 6= 3. Если p = q = r, то s делится на 3 и является составным.

Поскольку s нечетно, ровно одно из чисел p, q и r равно 2. Пусть для

определенности r = 2. Предположим, что ни одно из чисел p и q не делится на 3. Поскольку квадраты чисел, не делящихся на 3, дают остаток 1

при делении на 3, s кратно 3 и, значит, составное. Поэтому одно из (простых) чисел p,q делится на 3, т. е. равно 3, для определенности можно

считать, что q = 3. Таким образом, осталось найти все простые числа p,

для которых число s = p

4 + 34 + 24 − 3 = p

4 + 94 является простым. Если

p не делится на 5, то p

4 дает остаток 1 при делении на 5, и значит, число

s = p

4 + 94 составное, поскольку делится на 5. Поэтому p = 5. Осталось

заметить, что число s = 54 + 94 = 719 является простым.

Answer 2

Задача нахождения троек простых чисел p, q и r таких, что p^4 + q^4 + r^4 - 3 также является простым числом, может быть довольно сложной и требует некоторого анализа. Прежде всего, давайте рассмотрим несколько начальных троек простых чисел и проверим, выполняется ли условие задачи.

1. Первая тройка простых чисел: p = 2, q = 3, r = 5. В этом случае:

p^4 + q^4 + r^4 - 3 = 2^4 + 3^4 + 5^4 - 3 = 16 + 81 + 625 - 3 = 719, что является простым числом.

2. Вторая тройка простых чисел: p = 2, q = 3, r = 7. В этом случае:

p^4 + q^4 + r^4 - 3 = 2^4 + 3^4 + 7^4 - 3 = 16 + 81 + 2401 - 3 = 2595, что не является простым числом, так как оно делится на 3 и 5.

3. Третья тройка простых чисел: p = 2, q = 5, r = 7. В этом случае:

p^4 + q^4 + r^4 - 3 = 2^4 + 5^4 + 7^4 - 3 = 16 + 625 + 2401 - 3 = 3039, что также не является простым числом.

По этим примерам видно, что не все тройки простых чисел удовлетворяют условию задачи. На данном этапе не удалось найти тройку, для которой p^4 + q^4 + r^4 - 3 всегда является простым числом. Для поиска таких троек, возможно, потребуется выполнить более глубокий анализ и применить более сложные методы.