Question

В ящике 20 изделий, из которых 12 окрашено. На удачу извлечены 5 изделий. Найти вероятность того, что 3 из них окрашены

Answer 1

Ответ:

А вопрос в принципе какой?

Answer 2

Для нахождения вероятности того, что 3 из 5 изделий окрашены, мы можем воспользоваться формулой вероятности:

$P(\text{3 окрашены}) = \frac{{\text{Количество благоприятных исходов}}}{{\text{Общее количество исходов}}}$

Количество благоприятных исходов - это количество способов выбрать 3 окрашенных из 12 окрашенных и 2 неокрашенных из 8 неокрашенных (20 изделий - 12 окрашенных).

$P(\text{3 окрашены}) = \frac{{\binom{12}{3} \cdot \binom{8}{2}}}{{\binom{20}{5}}}$

Где $\binom{n}{k}$ - это биномиальный коэффициент, который обозначает количество способов выбрать k элементов из n элементов.

Вычислим:

$P(\text{3 окрашены}) = \frac{{\frac{12!}{3!(12-3)!} \cdot \frac{8!}{2!(8-2)!}}}{{\frac{20!}{5!(20-5)!}}}$

$P(\text{3 окрашены}) = \frac{{\frac{12!}{3! \cdot 9!} \cdot \frac{8!}{2! \cdot 6!}}}{{\frac{20!}{5! \cdot 15!}}}$

$P(\text{3 окрашены}) = \frac{{\frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1}}}{{\frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}}$

$P(\text{3 окрашены}) = \frac{{(220 \cdot 28)}}{{(15504)}}$

$P(\text{3 окрашены}) = \frac{{6160}}{{15504}}$

$P(\text{3 окрашены}) \approx 0.39795918367$

Таким образом, вероятность того, что при извлечении 5 изделий, ровно 3 из них окрашены, составляет примерно 0.398 или 39.8%.