Question

Семен решал квадратное уравнение 4x2+bx+c=0 и обнаружил, что два его корня — это числа tg α и 3ctg α при некотором α. Найдите c.

Answer 1

Ответ:

c = 12

Пошаговое объяснение:

По теореме Виета

x1*x2 = c/a

tg a*3ctg a = c/4

3*tg a*ctg a = 3 = c/4

c = 3*4 = 12

Answer 2

Давайте рассмотрим квадратное уравнение в общем виде:

\[4x^2 + bx + c = 0.\]

Если два корня уравнения - это числа \(\tan \alpha\) и \(3\tan \alpha\), то мы можем записать уравнение в следующем виде:

\[(x - \tan \alpha)(x - 3\tan \alpha) = 0.\]

Раскроем скобки:

\[x^2 - x\tan \alpha - 3x\tan \alpha + 3\tan^2 \alpha = 0.\]

Теперь объединим похожие члены:

\[x^2 - 4x\tan \alpha + 3\tan^2 \alpha = 0.\]

Теперь мы можем сравнить это уравнение с изначальным уравнением \(4x^2 + bx + c = 0\):

\[b = -4\tan \alpha \quad \text{и} \quad c = 3\tan^2 \alpha.\]

Таким образом, \(c = 3\tan^2 \alpha\).