Question

при каком наименьшем натуральном a на числовом иньервале (а, 3а) находится ровно 60 точных квадратов? ​

Answer 1

Ответ:

a=32

Пошаговое объяснение:

Между 32 и 3х32=96 находится ровно 60 чисел, которые можно возвести в точный квадрат.

Answer 2

Чтобы найти наименьшее натуральное значение \( a \) для интервала \( (a, 3a) \), в котором содержится ровно 60 точных квадратов, мы можем воспользоваться формулой для суммы квадратов натуральных чисел.

Количество квадратов на интервале можно представить как сумму первых \( n \) квадратов натуральных чисел. Формула для этой суммы известна и выглядит следующим образом:

\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \]

Мы хотим, чтобы это количество квадратов было равно 60, поэтому решим уравнение:

\[ \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = 60 \]

Упростим уравнение:

\[ n(n + 1)(2n + 1) = 360 \]

Теперь рассмотрим делители 360 и найдем такие значения \( n \), которые соответствуют условиям задачи.

\[ 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \]

Теперь рассмотрим различные комбинации делителей и подберем такие значения \( n \), чтобы уравнение было выполнено. Наименьшее подходящее значение \( n \) определит наименьшее значение \( a \).

1. \( n = 1 \): \( 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \) (не подходит) 2. \( n = 2 \): \( 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \) (подходит) 3. \( n = 3 \): \( 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84 \) (подходит) 4. \( n = 4 \): \( 4 \cdot 5 \cdot 9 = 180 \) (подходит)

Таким образом, наименьшее значение \( n \) (и, следовательно, \( a \)) равно 2. Таким образом, интервал \( (a, 3a) \) будет \((2, 6)\).