Question

Укажите наибольшее целое значение функции у=√21 sin x+2cos x-3​

Answer 1

Ответ:

y(max) = 2

Пошаговое объяснение:

Найдём максимум функции через производную:

y = √21*sin x + 2cos x - 3

y ' = √21*cos x - 2sin x = 0

2sin x = √21*cos x

tg x = √21/2

x0 = arctg(√21/2) ≈ 1,16 + π*k, k ∈ Z

Найдем sin(x0) и cos(x0) через tg(x0).

$tg(x0)=\frac{sin(x0)}{cos(x0)} =\frac{sin(x0)}{\sqrt{1-sin^2(x0)} } =\frac{\sqrt{21} }{2}$

$2sin(x0)=\sqrt{21}*\sqrt{1-sin^2(x0)}$

$4sin^2(x0)=21(1-sin^2(x0)) = 21-21sin^2(x0)$

$25sin^2(x0)=21$

$sin(x0)=\sqrt{\frac{21}{25} } =\frac{\sqrt{21} }{5}$

$cos(x0)=\sqrt{1-sin^2(x0)} =\sqrt{1-\frac{21}{25} } =\sqrt{\frac{4}{25} } =\frac{2}{5}$

Подставляем в функцию:

$y(x0)=\sqrt{21}*sin(x0) +2cos(x0)-3=\sqrt{21}*\frac{\sqrt{21} }{5}+2*\frac{2}{5} -3=$

$=\frac{21}{5} +\frac{4}{5} -3 =\frac{25}{5}-3=5-3=2$

Честно говоря, я думал, что максимум будет иррациональным, и придется подбирать наибольшее целое число, меньше максимума.

Не ожидал, что максимум сам по себе окажется целым числом.

Answer 2

Для нахождения наибольшего целого значения функции у=√21+sin(x)+2cos(x)-3, необходимо найти максимальное значение выражения sin(x)+2cos(x) и прибавить к нему √21-3.

Выражение sin(x)+2cos(x) можно представить в виде суммы двух тригонометрических функций, а именно: sin(x)+2cos(x) = √5(sin(x)cos(θ)+2cos(x)sin(θ)) = √5(sin(x+θ))

Где θ - некоторый угол, который можно найти из тождества синуса суммы: sin(x+θ) = sin(x)cos(θ)+cos(x)sin(θ) = 1*1+0*2 = 1

Таким образом, получаем выражение: sin(x)+2cos(x) = √5(sin(x+θ)) = √5(sin(x+arcsin(1))) = √5(sin(x+π/2)) = √5cos(x)

Максимальное значение функции √5cos(x) достигается, когда cos(x) = 1, то есть когда x = 0.

Таким образом, sin(x)+2cos(x) принимает максимальное значение при x = 0, а значит: sin(x)+2cos(x) = sin(0)+2cos(0) = 0+2*1 = 2

Теперь остается только прибавить к полученному значению √21-3: у = 2 + √21 - 3 = √21 - 1

Наибольшее целое значение функции у = √21 + sin(x) + 2cos(x) - 3 равно √21 - 1.