Question

Встановити тип кривої другого порядку і схематично зобразити її в прямокутній системі координат 0xy 25x^2+4y^2-50x+16y-59=0​

Answer 1

Дано уравнение второй степени 25x² + 4y² - 50x + 16y - 59 = 0​.

Выделим полные квадраты.

(25x² - 50x + 25) + (4y² + 16y + 16) -25 - 16 - 59 = 0,

25(x² - 2x + 1) + 4(y²- 4y + 4) = 100.

Разделим обе части уравнения на 100 и в скобках выделим квадраты.

((x - 1)²/4) + ((y - 2)²/25) = 1.

Получили уравнение эллипса:

((x - 1)²/2²) + ((y - 2)²/5²) = 1.

Рисунок и параметры кривой даны во вложениях.

Answer 2

Для встановлення типу кривої другого порядку, спочатку розглянемо загальний вигляд рівняння кривої другого порядку в координатній системі:

\[Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\]

У вашому випадку, рівняння кривої має вигляд:

\[25x^2 + 4y^2 - 50x + 16y - 59 = 0\]

Порівняємо його з загальним виглядом:

\[Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\]

Де: \[A = 25, \quad B = 0, \quad C = 4, \quad D = -50, \quad E = 16, \quad F = -59\]

Тепер давайте визначимо тип кривої:

1. Якщо \(B^2 - 4AC > 0\), то крива є еліпсом. 2. Якщо \(B^2 - 4AC = 0\), то крива є параболою. 3. Якщо \(B^2 - 4AC < 0\), то крива є гіперболою.

Обчислимо \(B^2 - 4AC\):

\[0^2 - 4 \cdot 25 \cdot 4 = -400\]

Отже, \(B^2 - 4AC < 0\), що означає, що крива є гіперболою.

Тепер схематично зобразимо цю гіперболу в прямокутній системі координат. Гіпербола має дві гілки, які розташовані симетрично відносно центра.

Для зручності, введемо нові змінні \(\xi\) та \(\eta\) такі, що:

\[\xi = x - \frac{D}{2A}, \quad \eta = y - \frac{E}{2C}\]

Після заміни отримаємо стандартне рівняння гіперболи:

\[\frac{\xi^2}{a^2} - \frac{\eta^2}{b^2} = 1\]

Де \(a\) і \(b\) - параметри, з якими можна визначити форму гіперболи. У вас \(a^2 = \frac{59}{25}\) та \(b^2 = \frac{59}{4}\).

Схематично гіперболу можна зобразити як дві відокремлені гілки, які розташовані симетрично відносно центра координат.