Question

вершини піраміди розташовані в точках A(-5;-1;0),B(1;-1;6),C(2;2;5),D(4;0;0).Скласти рівняння площини ,яка містить ребро CD і паралельно до ребра AB​

Answer 1

Даны точки A(-5;-1;0),B(1;-1;6),C(2;2;5),D(4;0;0).

Через точку С проведём прямую СК, параллельно АВ.

Эта прямая будет лежать в искомой плоскости.

Вектор АВ = (1-(-5); -1-(-1); 6-0) = (6; 0; 6).

У прямой СК направляющий вектор равен вектору АВ.

Уравнение СК: (x - 2)/6 = (y - 2)/0 = (z - 5)/6 = t.

Параметрические уравнения прямой СК:

x = 6t + 2,

y = 2,

z= 6t + 5.

Найдём координаты точки К на прямой СК. Для этого примем значение t = 1.

x = 6*1 + 2 = 8, y = 2, z = 6*1 + 5 = 11.

Получили третью точку в искомой плоскости: К(8; 2; 11).

По трём точкам составим уравнение искомой плоскости.

Для складання рівняння площини використаємо формулу:

x - xA       y - yA        z - zA

xB - xA    yB - yA     zB - zA

xC - xA     yC - yA     zC - zA  = 0

Підставимо дані та спростимо вираз:

x - 4         y - 0          z - 0

8 - 4         2 - 0         11 - 0

2 - 4         2 - 0          5 - 0   = 0

x - 4         y - 0          z - 0

4               2               11

-2               2               5   = 0

(x - 4)*(2·5-11·2) - (y - 0)*(4·5-11·(-2)) + (z - 0)*(4·2-2·(-2)) = 0

(-12)*(x - 4) + (-42)*(y - 0) + 12(z - 0) = 0

- 12x - 42y + 12z + 48 = 0 сократим на -6:

Ответ: 2x + 7y - 2z - 8 = 0.

Answer 2

Для складання рівняння площини, яка містить ребро CD та паралельна до ребра AB, можемо використати вектори нормалі до цих площин.

1. Знайдемо вектор, який паралельний до ребра AB. Для цього візьмемо координати точок A та B і віднімемо їх:

\[ \overrightarrow{v_{AB}} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (1-(-5), (-1)-(-1), 6-0) = (6, 0, 6) \]

2. Тепер нормалізуємо вектор \(\overrightarrow{v_{AB}}\), поділивши його на його довжину:

\[ \overrightarrow{n_{AB}} = \frac{\overrightarrow{v_{AB}}}{|\overrightarrow{v_{AB}}|} \]

Довжина вектора \(\overrightarrow{v_{AB}}\) обчислюється як:

\[ |\overrightarrow{v_{AB}}| = \sqrt{6^2 + 0^2 + 6^2} = \sqrt{72} \]

Таким чином, нормалізований вектор \(\overrightarrow{n_{AB}}\) буде:

\[ \overrightarrow{n_{AB}} = \frac{1}{\sqrt{72}}(6, 0, 6) = \left(\frac{1}{\sqrt{12}}, 0, \frac{1}{\sqrt{12}}\right) \]

3. Тепер рівняння площини, яка проходить через ребро CD та паралельна до ребра AB, можна записати у вигляді:

\[ \overrightarrow{n_{AB}} \cdot \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{n_{AB}} \cdot \overrightarrow{C} \]

де \(\overrightarrow{CP}\) - вектор, який веде від будь-якої точки на площині до точки C.

Замінимо координати точки C:

\[ \left(\frac{1}{\sqrt{12}}, 0, \frac{1}{\sqrt{12}}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} x - 2 \\ y - 2 \\ z - 5 \end{array}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{12}}, 0, \frac{1}{\sqrt{12}}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right) \]

Помножимо вектори:

\[ \frac{1}{\sqrt{12}}(x - 2) + 0(y - 2) + \frac{1}{\sqrt{12}}(z - 5) = \frac{1}{\sqrt{12}}(2) + 0(2) + \frac{1}{\sqrt{12}}(5) \]

Спростимо рівняння:

\[ \frac{1}{\sqrt{12}}(x - 2) + \frac{1}{\sqrt{12}}(z - 5) = \frac{1}{\sqrt{12}}(7) \]

Остаточно отримаємо рівняння площини:

\[ x + z - 7 = 0 \]

Отже, рівняння площини, яка містить ребро CD та паралельна до ребра AB, є \(x + z - 7 = 0\).