Question

Использование рекуррентных соотношений. Числа Фибоначчи Обозначим через производящую функцию последовательности чисел Фибоначчи ∑∞/n=0 . Докажите, что , и найдите отсюда .

Answer 1

Ответ:

$F(z)=\dfrac{1}{1-z-z^2}$

Пошаговое объяснение:

$B_1=0,B_1=1,B_{n+2}=B_{n+1}+B_{n} \Rightarrow B_{n+2}z^{n+2}=z\cdot B_{n+1}z^{n+1}+z^2\cdot B_{n}z^{n}\Rightarrow \\ \Rightarrow \sum\limits_{n=0}^\infty B_{n+2}z^{n+2}=z\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty B_{n+1}z^{n+1}+z^2\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty B_{n}z^{n}\Rightarrow\\ \Rightarrow F(z)-B_1 z-B_0=z\cdot (F(z)-B_0)+z^2\cdot F(z)\\ F(z)- z-1=z\cdot (F(z)-1)+z^2\cdot F(z)\\ F(z)=1+z\cdot F(z)+z^2\cdot F(z)$

Ч.т.д.

Отсюда

$F(z)\cdot (1-z-z^2)=1\Rightarrow F(z)=\dfrac{1}{1-z-z^2}$

Answer 2

Использование рекуррентных соотношений и числа Фибоначчи

Чтобы доказать и найти значение выражения ∑∞/n=0, где Fn обозначает n-ое число Фибоначчи, мы можем использовать рекуррентное соотношение, которое определяет числа Фибоначчи.

Рекуррентное соотношение для чисел Фибоначчи гласит: Fn = Fn-1 + Fn-2

где F0 = 0 и F1 = 1.

Мы можем использовать это соотношение для вычисления значений чисел Фибоначчи и затем найти значение ∑∞/n=0.

Доказательство

Для доказательства рекуррентного соотношения Fn = Fn-1 + Fn-2, мы можем использовать метод математической индукции.

1. Базовый случай: При n = 0, F0 = 0 и F1 = 1. Подставляя значения в рекуррентное соотношение, мы получаем: F0 = F-1 + F-2 0 = 1 + F-2 F-2 = -1

Таким образом, базовый случай подтверждается.

2. Предположение индукции: Предположим, что рекуррентное соотношение верно для всех k, где 0 <= k <= n.

3. Индукционный шаг: Докажем, что рекуррентное соотношение верно для n+1. Используя предположение индукции, у нас есть: Fn = Fn-1 + Fn-2 Fn+1 = Fn + Fn-1

Теперь мы можем объединить эти два уравнения: Fn+1 = Fn + Fn-1 = (Fn-1 + Fn-2) + Fn-1 = 2Fn-1 + Fn-2

Таким образом, рекуррентное соотношение верно для n+1.

Таким образом, мы доказали, что рекуррентное соотношение Fn = Fn-1 + Fn-2 верно для всех неотрицательных целых чисел n.

Нахождение значения ∑∞/n=0

Теперь, когда мы знаем рекуррентное соотношение для чисел Фибоначчи, мы можем использовать его для нахождения значения выражения ∑∞/n=0.

Выражение ∑∞/n=0 означает сумму всех чисел Фибоначчи от F0 до бесконечности.

Мы можем начать с базовых значений F0 и F1 и последовательно применять рекуррентное соотношение, чтобы найти следующие числа Фибоначчи.

Продолжая этот процесс, мы можем найти значения чисел Фибоначчи и вычислить сумму.

Пример вычисления:

F0 = 0 F1 = 1 F2 = F1 + F0 = 1 + 0 = 1 F3 = F2 + F1 = 1 + 1 = 2 F4 = F3 + F2 = 2 + 1 = 3 F5 = F4 + F3 = 3 + 2 = 5 и так далее...

Продолжая этот процесс, мы можем вычислить значения чисел Фибоначчи и найти сумму всех чисел Фибоначчи от F0 до бесконечности.

Однако, поскольку числа Фибоначчи растут экспоненциально, сумма всех чисел Фибоначчи от F0 до бесконечности будет иметь бесконечное значение.

Таким образом, значение выражения ∑∞/n=0 не существует.

Заключение

Мы доказали рекуррентное соотношение для чисел Фибоначчи и показали, что значение выражения ∑∞/n=0 не существует.