Question

Заданы вершины треугольника ABC . Вычислите его площадь и косинус внутреннего угла B . A(0;2;1), B(4;0;1), C(3;−4;2).

Answer 1

Для вычисления площади треугольника можно воспользоваться формулой Герона, для которой нужно знать длины сторон. Сперва найдём стороны:

$><img src=$

Answer 2

Для вычисления площади треугольника ABC можно воспользоваться формулой Герона:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины его сторон.

Для начала найдем длины сторон треугольника ABC:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2), BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 + (z3 - z2)^2), AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 + (z3 - z1)^2),

где (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) - координаты вершин треугольника.

Подставим значения координат вершин треугольника ABC:

AB = √((4 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (1 - 1)^2) = √(16 + 4 + 0) = √20 = 2√5, BC = √((3 - 4)^2 + (-4 - 0)^2 + (2 - 1)^2) = √(1 + 16 + 1) = √18 = 3√2, AC = √((3 - 0)^2 + (-4 - 2)^2 + (2 - 1)^2) = √(9 + 36 + 1) = √46.

Теперь найдем полупериметр треугольника:

p = (AB + BC + AC) / 2 = (2√5 + 3√2 + √46) / 2.

Подставим полученные значения в формулу площади:

S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)).

Таким образом, площадь треугольника ABC равна √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)).

Для вычисления косинуса внутреннего угла B воспользуемся формулой косинуса:

cos(B) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC).

Подставим значения длин сторон треугольника ABC:

cos(B) = (2√5^2 + 3√2^2 - √46^2) / (2 * 2√5 * 3√2).

Таким образом, косинус внутреннего угла B равен (2√5^2 + 3√2^2 - √46^2) / (2 * 2√5 * 3√2).