Question

Доведіть що число √2013*2015*2017*2019+16 є цілим. Срочно надо, плз помогите!​

Answer 1

$\sqrt{2013 * 2015 * 2017 * 2019 + 16}$

Замена: 2013 = a

$\sqrt{a * (a + 2) * (a + 4) * (a + 6) + 16}$

= $\sqrt{a * (a + 6) * (a + 2) * (a + 4) + 4^2}$ =

= $\sqrt{(a^2 + 6a) * (a^2 + 6a + 8) + 4^2}$ =

= $\sqrt{(a^2 + 6a) * (a^2 + 6a) + 8*(a^2 + 6a) + 4^2}$ =

= $\sqrt{(a^2 + 6a + 4)^2} = |a^2 + 6a + 4|}$ =

= 2013² + 6 * 2013 + 4

ч.т.д.

Answer 2

Чтобы доказать, что число √(2013*2015*2017*2019+16) является целым, мы можем воспользоваться фактом, что если число является квадратом целого числа, то оно будет целым.

Для начала, рассмотрим число 2013*2015*2017*2019+16. Заметим, что это произведение четырех последовательных нечетных чисел, к которому прибавляется 16. Мы можем записать это число в виде (2014-1)*(2016-1)*(2018-1)*(2020-1) + 16.

При раскрытии скобок получим: (2014-1)*(2016-1)*(2018-1)*(2020-1) + 16 = (2014*2016*2018*2020) - (2014*2016*2018) - (2014*2016*2020) - (2014*2018*2020) -(2016*2018*2020) + (2014*2016) + (2014*2018) + (2014*2020) + (2016*2018) + (2016*2020) + (2018*2020) + 16.

Обратим внимание на следующее сочетание слагаемых: -2014*2016*2018*2020 + 2014*2016*2018 + 2014*2016*2020 + 2014*2018*2020 + 2016*2018*2020 - 2014*2016 - 2014*2018 - 2014*2020 - 2016*2018 - 2016*2020 - 2018*2020.

Заметим, что каждое слагаемое в этом сочетании имеет общий множитель 2014. Мы можем вынести этот общий множитель за скобки: 2014*(2016*2018*2020 - 2016*2018 - 2016*2020 - 2018*2020 + 2016 + 2018 + 2020 - 1).

Обратим внимание на то, что в скобках мы можем сгруппировать слагаемые: 2014*(2016-1)*(2018-1)*(2020-1).

Теперь мы видим, что числитель (2013*2015*2017*2019+16) представляет собой произведение числа 2014 (которое мы вынесли за скобки) и квадрата целого числа (2016-1)*(2018-1)*(2020-1).

Таким образом,√(2013*2015*2017*2019+16) = 2014*(2016-1)*(2018-1)*(2020-1)^(1/2) является произведением целых чисел и, следовательно, само является целым числом.

Окончательно, можно сделать вывод, что число √(2013*2015*2017*2019+16) является целым.