Question

Помогите !!! С подробным решением!!! Составьте уравнение касательной для данной функции в точке х0 f(x)=5x-x^2,x0=1

Answer 1

Ответ: y-3*x-1=0.

Пошаговое объяснение:

Будем искать уравнение касательной в виде y-y0=k*(x-x0), где k- угловой коэффициент касательной. Так как k=f'(x0), то уравнение касательной можно записать в виде: y-y0=f'(x0)*(x-x0). Из выражения для f(x) находим y0=5*x0-x0²=5*1-1²=4. Дифференцируя выражение для f(x), находим f'(x)=5-2*x, и тогда f'(x0)=f'(1)=5-2*1=3. Тогда уравнение касательной таково: (y-4)=3*(x-1), или y-3*x-1=0.

Answer 2

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции \( f(x) = 5x - x^2 \) в точке \( x_0 = 1 \), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите первую производную функции \( f(x) \), которая представляет собой скорость изменения функции по отношению к \( x \).

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(5x - x^2) \]

Производная будет равна:

\[ f'(x) = 5 - 2x \]

2. Найдите значение производной в точке \( x_0 = 1 \):

\[ f'(1) = 5 - 2 \times 1 = 3 \]

Это значение представляет угловой коэффициент касательной к графику в точке \( x_0 = 1 \).

3. Используйте найденный угловой коэффициент и точку \( (x_0, f(x_0)) \), чтобы написать уравнение касательной в форме \( y = mx + b \), где \( m \) - угловой коэффициент, \( b \) - y-координата точки касания.

\[ y - f(x_0) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) \]

Подставим \( x_0 = 1 \) и \( f(x_0) = f(1) = 5 \times 1 - 1^2 = 4 \):

\[ y - 4 = 3 \cdot (x - 1) \]

Раскроем скобки:

\[ y - 4 = 3x - 3 \]

Теперь выразим \( y \):

\[ y = 3x + 1 \]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \( f(x) = 5x - x^2 \) в точке \( x_0 = 1 \) равно \( y = 3x + 1 \).