Question

Y=(x-1)^2/x^2+1 исследовать функцию и построить график

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle y=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}$

1. ОДЗ: $x\in{R}$

2.Четность, нечетность:

$\displaystyle y(-x)=\frac{(-x-1)^2}{(-x)^2+1} =\frac{(x+1)^2}{x^2+1}\\\\y(-x)\neq y(x)\neq -y(x)$

⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3. пересечение с осями:

x=0 ⇒  у=1;

у=0 ⇒ (х-1)² = 0; х=1

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет.

Наклонная: y = kx+b

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{(x-1)^2}{x(x^2+1)}=0\\\\b = \lim_{x \to \infty} \frac{(x-1)^2}{x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{2x}{x^2}+\frac{1}{x^2} }{\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2} }=1$

⇒ y=1 - горизонтальная асимптота.

5. Возрастание, убывание. Экстремумы.

Найдем производную, приравняем к 0. Найдем корни, отметим на числовой оси, определим знак производной на промежутках.

Если "+", функция возрастает, "-" - убывает.

$\displaystyle y'=\frac{2(x-1)*(x^2+1)-(x-1)^2*2x}{(x^2+1)^2} =\\\\=\frac{2x^3+2x-2x^2-2-2x^3+4x^2-2x}{(x^2+1)^2} =\\\\=\frac{2x^2-2}{(x^2+1)^2} =\frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2} \\\\x_1=1;\;\;\;x_=-1$

См. рис.

$x_(max)=-1;\;\;\;x_{min}=1\\\\y(-1)=2;\;\;\;y(1)=0$

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем вторую производную, приравняем к 0. Найдем корни, отметим на числовой оси, определим знак второй производной на промежутках.

Если "+", функция вогнутая, "-" - выпуклая.

$\displaystyle y''=\frac{4x(x^2+1)^2-(2x^2-2)*2(x^2+1)*2x}{(x^2+1)^4} =\\\\=\frac{4x(x^2+1)-4x(2x^2-2)}{(x^2+1)^3} =\frac{4x^3+4x-8x^3+8x}{(x^2+1)^3} =\\\\=\frac{12x-4x^3}{(x^2+1)^3} =\frac{4x(\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}+x) }{(x^2+1)^3} \\\\x_1=0;\;\;\;x_2=-\sqrt{3};\;\;\;x_3=\sqrt{3}$

Cм. рис.

В точках х=-√3; 0; √3    - перегиб

$y(0) = 1;\;\;\;y(-\sqrt{3})\approx 1,8;\;\;\;y(\sqrt{3})\approx 0,1$

Строим график .

Answer 2

Для начала, рассмотрим выражение y=(x-1)^2/x^2+1. Для того чтобы исследовать функцию, мы можем выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем область определения функции. В данном случае, областью определения будет множество всех действительных чисел, кроме x=0.

Шаг 2: Найдем точки пересечения с осями координат. Для этого приравниваем y к нулю и решаем уравнение: (x-1)^2/x^2+1 = 0. Так как (x-1)^2 всегда больше или равно нулю, уравнение может иметь только одно решение: x-1=0, откуда x=1. Таким образом, точка пересечения с осью Y равна (1, 0).

Теперь, чтобы провести исследование функции, рассмотрим следующие аспекты:

1. Поведение функции при x --> +бесконечности и x --> -бесконечности: При x --> +бесконечности и x --> -бесконечности, только наибольшие степени числителя и знаменателя могут иметь значимость. В данном случае, степени числителя и знаменателя равны 2, поэтому: - При x --> +бесконечности, (x-1)^2 и x^2 стремятся к бесконечности. Таким образом, можно сказать, что функция будет стремиться к 1. - При x --> -бесконечности, (x-1)^2 и x^2 также стремятся к бесконечности, и функция будет стремится к 1.

2. Точка разрыва: Мы уже определили, что точка x=0 не принадлежит области определения функции. Таким образом, у функции имеется отверстие в точке (0, y).

3. Симметрия: Посмотрим, симметрична ли функция относительно оси Y. Если подставить -x вместо x в исходное выражение, получим y=(-x-1)^2/(-x)^2+1 = (x-1)^2/x^2+1. Значит, функция симметрична относительно оси Y.

4. Производная: Чтобы найти экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания, найдем производную функции. Для этого воспользуемся правилом производной отношения: (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - g'(x)f(x))/[g(x)]^2. Вычислим производные числителя и знаменателя отдельно: - Производная числителя (x-1)^2: (x-1)^2' = 2(x-1) - Производная знаменателя x^2+1: (x^2+1)' = 2x Теперь найдем производную функции, используя полученные производные: y' = (2(x-1)(x^2+1) - 2x(x-1))/[(x^2+1)^2] = 2(x-1)^2/[(x^2+1)^2] Производная равна нулю, когда числитель равен нулю, то есть когда x=1. Таким образом, x=1 является точкой экстремума.

5. Интервалы возрастания и убывания: Изучим знак производной на различных интервалах. Чтобы это сделать, выберем тестовую точку для каждого интервала и подставим ее в производную. - Когда x<1, можно выбрать x=0. В этом случае, производная равна 2(0-1)^2/[(0^2+1)^2] = -2/1, что отрицательно. Таким образом, функция убывает на интервале (-∞, 1). - Когда x>1, можно выбрать x=2. В этом случае, производная равна 2(2-1)^2/[(2^2+1)^2] = 2/25, что положительно. Функция возрастает на интервале (1, +∞).

Исследование функции проведено. Теперь можно построить график функции, учитывая все вышеуказанные результаты.