Question

11. Вершины четырехугольника находятся в точках А(-3; -5; -1), В (2; -20; 9), C (-6; 1; - 2), D (-9; 10; -8). Показать, что ABCD есть трапеция и найти длины её оснований.​

Answer 1

Даны вершины четырёхугольника:

Точка А          Точка В            Точка С           Точка D  

X   Y   Z          X  Y  Z           X    Y    Z           X    Y    Z

-3  -5  -1         2  -20  9            -6   1   -2           -9   10   -8

Стороны четырёхугольника определяем по разности координат по формуле d = √((Δx)² + (Δy)² + (Δz)²).

Вектор АВ                                        Вектор ВС  

X    Y    Z                                               X    Y   Z

5   -15   10                                     -8   21   -11

Модуль √350 = 18,708              Модуль √626 = 25,02

Вектор CD                                         Вектор АD  

X     Y     Z                                       X    Y     Z

-3    9    -6                                            -6    15    -7

Модуль √126 = 11,225                        Модуль  √310 = 17,607.

Определяем углы между векторами по формуле:

cos α = |X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2|/√(X1² + Y1² + Z2²)*√(X2² + Y2² + Z2²).

Угол между векторами                                         радиан       градус

AB BC -465/    468,0812 =    -0,99342               3,02679      173,4223

AB CD -210 /    210 =                 -1                     3,14159         180

AB AD -325/    329,393 =     -0,9867             2,9781         170,632      

BC CD 279/     280,849 =     0,9934                    0,114803      6,578

BC AD 440/     440,522 =     0,999                    0,0487        2,7906      

CD AD 195/      197,636 =       0,9867                   0,1635         9,3683.

Из этих данных видно, что стороны AB и CD параллельны (угол 180).

Значит, это основания трапеции.

Длины определены выше: AB = √350 = 18,708,

                                               CD = √126 = 11,225.

       

Answer 2

Чтобы показать, что четырехугольник ABCD является трапецией, достаточно показать, что у него хотя бы одна пара противоположных сторон параллельна.

Для этого найдем векторы, соответствующие сторонам AB, BC, CD и DA, и проверим их направления.

1. Вектор AB: \[ \vec{AB} = \langle 2 - (-3), (-20) - (-5), 9 - (-1) \rangle = \langle 5, -15, 10 \rangle \]

2. Вектор BC: \[ \vec{BC} = \langle (-6) - 2, 1 - (-20), (-2) - 9 \rangle = \langle -8, 21, -11 \rangle \]

3. Вектор CD: \[ \vec{CD} = \langle (-9) - (-6), 10 - 1, (-8) - (-2) \rangle = \langle -3, 9, -6 \rangle \]

4. Вектор DA: \[ \vec{DA} = \langle (-3) - (-9), (-5) - 10, (-1) - (-8) \rangle = \langle 6, -15, 7 \rangle \]

Теперь проверим, есть ли пара противоположных сторон с параллельными векторами. Например, сравним векторы AB и CD.

\[ k = \frac{5}{-3} = \frac{-15}{9} = \frac{10}{-6} \]

Таким образом, векторы AB и CD пропорциональны. Это означает, что стороны AB и CD параллельны.

Следовательно, ABCD - трапеция.

Теперь найдем длины ее оснований:

1. Длина основания AB: \[ |AB| = \sqrt{5^2 + (-15)^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 225 + 100} = \sqrt{350} = 5\sqrt{14} \]

2. Длина основания CD: \[ |CD| = \sqrt{(-3)^2 + 9^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 81 + 36} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14} \]

Таким образом, длины оснований трапеции ABCD равны \(5\sqrt{14}\) и \(3\sqrt{14}\).