Question

2. Даны уравнения: 1) 4x2 - x - 3 = 0 2) х2 -х – 90 = 0. а) Определите, сколько корней имеет каждое уравнение. b) Найдите корни, если они существуют.​

Answer 1

1) уравнение имеет два корня: 1; -3/4
2) уравнение имеет два корня: 10; -9

Answer 2

Конечно, давайте решим оба уравнения.

1) \(4x^2 - x - 3 = 0\)

a) Чтобы определить количество корней, можно воспользоваться дискриминантом. Уравнение квадратичное вида \(ax^2 + bx + c = 0\), и дискриминант определяется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то у уравнения два различных корня. Если \(D = 0\), то у уравнения один корень. Если \(D < 0\), то у уравнения нет действительных корней.

В данном случае, у нас \(a = 4\), \(b = -1\), и \(c = -3\). Вычислим дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49\]

Так как \(D > 0\), у уравнения два различных действительных корня.

b) Теперь найдем корни. Используем формулу квадратного корня:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

В нашем случае:

\[x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{8}\]

Таким образом, уравнение имеет два корня:

\[x_1 = \frac{1 + 7}{8} = \frac{8}{8} = 1\]

\[x_2 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}\]

2) \(x^2 - x - 90 = 0\)

a) Также используем дискриминант для определения количества корней. В данном случае \(a = 1\), \(b = -1\), и \(c = -90\). Вычислим дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361\]

Так как \(D > 0\), у уравнения два различных действительных корня.

b) Теперь найдем корни:

\[x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 1}\]

\[x = \frac{1 \pm 19}{2}\]

Таким образом, уравнение имеет два корня:

\[x_1 = \frac{1 + 19}{2} = 10\]

\[x_2 = \frac{1 - 19}{2} = -9\]

Итак, первое уравнение имеет два корня: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -\frac{3}{4}\), а второе уравнение также имеет два корня: \(x_1 = 10\) и \(x_2 = -9\).