Question

На какой наименьший точный квадрат (квадрат натурального числа) не делится число 77! (n!=1⋅2⋅3⋅...⋅n)? Ответ дать числом в десятичной записи.

Answer 1

Ответ:

41^2

Пошаговое объяснение:

77! = 1*2*3*...*75*76*77

Числа от 1 до 77:2 = 38 не подходят, потому что, например,

38^2 = 38*38 входит в произведение 38*76

Число 41^2 подходит, потому что 41 входит в произведение, а 41*2 = 82 уже не входит.

Посмотрим числа 39^2 и 40^2.

39^2 = 3*3*13*13 = 9*13*26. Не подходит.

40^2 = 4*10 = 2*2*2*5*2*5 = 16*25. Не подходит.

Значит, 41^2 - наименьшее подходящее число.

Answer 2

Чтобы понять, на какой наименьший точный квадрат не делится число \(77!\), давайте рассмотрим разложение простых множителей для этого числа.

\(77! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 76 \cdot 77\)

Разложим каждое натуральное число на простые множители и подсчитаем степени простых множителей:

- Простые числа до 77: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77.

Теперь рассмотрим степени каждого простого числа в разложении \(77!\):

- Степени числа 2: \(\lfloor \frac{77}{2} \rfloor + \lfloor \frac{77}{4} \rfloor + \lfloor \frac{77}{8} \rfloor + \ldots\) - Степени числа 3: \(\lfloor \frac{77}{3} \rfloor + \lfloor \frac{77}{9} \rfloor + \ldots\) - Степени числа 5: \(\lfloor \frac{77}{5} \rfloor + \lfloor \frac{77}{25} \rfloor\) - Степени числа 7: \(\lfloor \frac{77}{7} \rfloor\) - Степени остальных простых чисел до 77: 1 (потому что каждое из них встречается в разложении \(77!\) в первой степени).

Теперь найдем минимальный квадрат, на который не делится \(77!\). Это будет число, образованное удвоенными степенями простых множителей (каждый множитель взят в нечетной степени):

\(2^{38} \cdot 3^{19} \cdot 5^9 \cdot 7^4 \cdot 11^3 \cdot 13^3 \cdot 17^2 \cdot 19^2 \cdot 23^2 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 43 \cdot 47 \cdot 53 \cdot 59 \cdot 61 \cdot 67 \cdot 71 \cdot 73\)

Это число не является точным квадратом, так как степени простых чисел нечетные. Теперь найдем его числовое значение:

\[2^{38} \cdot 3^{19} \cdot 5^9 \cdot 7^4 \cdot 11^3 \cdot 13^3 \cdot 17^2 \cdot 19^2 \cdot 23^2 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 43 \cdot 47 \cdot 53 \cdot 59 \cdot 61 \cdot 67 \cdot 71 \cdot 73 \approx 2.317 \times 10^{44}\]

Таким образом, наименьший точный квадрат, на который не делится \(77!\), равен примерно \(2.317 \times 10^{44}\).