Question

Sin3x-cos3x= -1/2 помогите пожалуйста 21 б

Answer 1

$\sin 3x-\cos 3x=-0.5\\ \sqrt{2}\sin \Big(3x-\dfrac{\pi}{4}\Big)=-0.5$

$\sin\Big(3x-\dfrac{\pi}{4}\Big)=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

$3x-\dfrac{\pi}{4}=(-1)^{k+1}\arcsin\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\pi k,k \in \mathbb{Z}$

$x=(-1)^{k+1}\cdot\dfrac{1}{3}\arcsin\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{3},k \in \mathbb{Z}$

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, рассмотрим его левую часть sin3x - cos3x. Мы можем использовать формулу тригонометрического идентификатора для разности синусов sin(a - b) = sinacosb - cosasinb:

sin3x - cos3x = sin(2x + x) - cos(2x + x) = sin2xcosx - cos2xsinx - cos2xcosx + sin2xsinx.

Кроме того, можно использовать формулу суммы синусов sin(a + b) = sinacosb + cosasinb:

sin3x - cos3x = sin2xcosx - cos2xsinx - cos2xcosx + sin2xsinx = sin2xcosx - cos2xsinx - cos2xcosx + sin2xsinx + sinxcos2x + sinxcos2x = 2sin2xcosx - cos2xsinx + sinxcos2x.

Теперь уравнение принимает вид:

2sin2xcosx - cos2xsinx + sinxcos2x = -1/2.

Поскольку у нас есть различные слагаемые, содержащие sin и cos, мы не можем непосредственно привести выражение к виду cosx или sinx. Однако, мы можем использовать замену, чтобы свести его к одному тригонометрическому термину.

Положим z = sinx, тогда cosx = √(1 - sin^2x) = √(1 - z^2). Подставим замену в уравнение:

2z^2√(1 - z^2) - (1 - z^2)z + z(1 - z^2) = -1/2.

Упростим выражение:

2z^2√(1 - z^2) - z + z^3 + z - z^3 = -1/2,

2z^2√(1 - z^2) = -1/2,

z^2√(1 - z^2) = -1/4.

Теперь квадратное уравнение имеет вид:

z^4(1 - z^2) = 1/16.

z^4 - z^6 = 1/16.

Подставив переменную y = z^2, получим:

y^2 - y^3 - 1/16 = 0.

Теперь можно решить это кубическое уравнение относительно y методом подстановки или другими методами.

Когда будут найдены значения y, можно вернуться к переменной z и решить уравнение:

z^2 = y,

z = ±√y.

Теперь мы знаем значения z, а следовательно, можем найти значения sinx и cosx:

sinx = z,

cosx = √(1 - z^2).

Таким образом, мы найдем значения x, удовлетворяющие уравнению sin3x - cos3x = -1/2, с использованием метода замены и решения уравнения субституции.