Question

сколько корней имеет уравнение cosxcos2x=cos3x на промежутке [0;2п]с РЕШЕНИЕМ ПОЖАЛУЙСТА!!!:сколько корней имеет уравнение cosxcos2x=cos3x на промежутке [0;2п]

Answer 1

$cosxcos2x=cos3x \\\ \frac{1}{2} (cos(x+2x)+cos(x-2x)=cos3x \\\ cos3x+cosx=2cos3x cos3x-cosx=0 \\\ -2sin \frac{3x+x}{2}sin \frac{3x-x}{2}=0 \\\ sin2xsinx=0 \\\ sinx=0 \\\ x=\pi n, n\in Z \\\ sin2x=0 \\\ 2x=\pi n \\\ x= \frac{\pi n}{2} , n\in Z$
$0 \leq \frac{\pi n}{2} \leq 2\pi \\\ 0 \leq \pi n \leq 4\pi \\\ 0 \leq n \leq 4 \\\ n=0, 1, 2, 3, 4$
Так как целых чисел 5, то и корней также 5
Ответ: 5 корней

Answer 2

Для решения этого уравнения мы можем использовать графический метод или аналитический метод.

1. Графический метод: нужно построить графики каждого из слагаемых уравнения. Искомые корни будут точками пересечения графиков.

2. Аналитический метод: приведём уравнение к виду, в котором на одной стороне будет 0. Это можно сделать путём переноса всех слагаемых вправо:

cos(x)cos(2x) - cos(3x) = 0

Затем упростим уравнение, используя тригонометрические тождества:

cos(x)cos(2x) - cos(2x)cos(x) + sin(2x)sin(x) = 0

sin(2x)sin(x) = 0

Теперь можем решить полученное уравнение:

sin(2x)sin(x) = 0

1) sin(2x) = 0 2x = 0, π, 2π, 3π, ...

2) sin(x) = 0 x = 0, π, 2π, 3π, ...

Таким образом, у уравнения cos(x)cos(2x) = cos(3x) есть корни на интервале [0, 2π]. Корнями будут значения x = 0, π, 2π.