Question

Лжецы и рыцари 7 На некотором острове все местные жители - лжецы или рыцари. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. В ряд выстроились 2020 местных жителей, и одного из них (только его) зовут Петя. Каждый в ряду, кроме Пети, заявил: "Между мной и Петей стоят ровно три лжеца". Какое наименьшее число лжецов может быть в этом ряду? Какое наибольшее число лжецов может быть в этом ряду?

Answer 1

Обозначим рыцаря Петю буквой П, лжецов Л, рыцарей Р, и обозначим Ж всех жителей, про которых мы еще не знаем, лжец он или рыцарь.

Ряд из 2020 жителей выглядит так:

ЖЖЖ...ЖЖЖЖПЖЖЖЖ...ЖЖЖ

Где-то в ряду стоит Петя.

Ясно, что его первые соседи - оба лжецы, потому что между ним и Петей нет никого, а он говорит, что между ним и Петей три лжеца.

ЖЖЖ...ЖЖЖЛПЛЖЖЖ...ЖЖЖ

Тоже самое можно сказать про вторых и третьих соседей.

Между ним и Петей меньше трех человек, а он говорит, что три лжеца.

ЖЖЖ...ЖЛЛЛПЛЛЛЖ...ЖЖЖ

Теперь рассмотрим 4-ых соседей. Они оба говорят правду: между ним и Петей три лжеца. Значит, они оба рыцари.

ЖЖЖ...ЖРЛЛЛПЛЛЛРЖ...ЖЖЖ

Теперь рассмотрим пятых соседей. Между ним и Петей по-прежнему ровно 3 лжеца. Значит, они тоже оба рыцари.

ЖЖЖ...РРЛЛЛПЛЛЛРР...ЖЖЖ

И так далее, получается, что все остальные жители в ряду - рыцари.

Значит, ответы будут такие.

Если Петя - рыцарь, то:

Наименьшее число лжецов равно 3, если Петя стоит с краю ряда.

ПЛЛЛРР...РРР

Наибольшее число лжецов равно 6, если Петя стоит в середине ряда.

РРР...РРЛЛЛПЛЛЛРР...РРР

Если Петя - лжец, то количество лжецов увеличивается на 1, значит, получается соответственно 4 и 7 лжецов.

Answer 2

Для решения данной задачи необходимо анализировать заявления жителей и определить, какие из них могут быть лжецами.

Пусть n - количество лжецов в ряду.

1) Наименьшее количество лжецов: - Все жители, кроме Пети, заявляют, что между ними и Петей стоят ровно 3 лжеца. Это означает, что каждый из них является рыцарем. - Таким образом, Петя является лжецом, и между ним и каждым из остальных стоят 3 лжеца. - Значит, наименьшее количество лжецов в этом ряду равно 1.

2) Наибольшее количество лжецов: - Предположим, что все жители, кроме Пети, являются лжецами. - Тогда каждый из них лжет о том, что между ним и Петей стоят 3 лжеца. - Значит, наибольшее количество лжецов в этом ряду равно 2019.

Таким образом, наименьшее количество лжецов в этом ряду равно 1, а наибольшее количество лжецов равно 2019.