Question

Найти производную двумя способами y=(x+2)^(x+2)​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Y=(x+2)^(x+2)

Є дві підходи: перший один із простих, ми згадуємо формулу y'=nx^(n-1) і прямо вирішуємо

Y1'=(x+2)(x+2)^((x+2)-1)=(x+2)(x+2)^(x+1)=

Далі ми розгортаємо показник за таким способом x^(n+1)=x^n*x

=(x+2)*(x+2)^x*(x+2);

Другий підхід він більш ускладнений, у тому треба розкрити функцію:

y=(x+2)^x*(x+2)^2; використовуємо формулу диференціації y=d'x+dx';

Y2'=((x+2)^x)'*(x+2)^2+((x+2)^2)'*(x+2)^x=

=x(x+2)^(x-1)*(x+2)^2+(2*(x+2)^(2-1))(x+2)^x=

=(x(x+2)^x*(x+2)^2)/(x+2)+2*(x+2)(x+2)^x=

=x(x+2)^x*(x+2)+2(x+2)(x+2)^x=(x+2)^x*(x+2)*(x+2).

Answer 2

Конечно, рассчитаем производную функции \(y = (x+2)^{x+2}\) двумя способами: с помощью правила дифференцирования сложной функции и с помощью логарифмического дифференцирования.

Способ 1: Правило дифференцирования сложной функции

Для начала воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции \(f(g(x))'\):

Если \(y = u^n\), где \(u\) - функция от \(x\), то \(\frac{{dy}}{{dx}} = nu^{n-1} \cdot \frac{{du}}{{dx}}\).

Для \(y = (x+2)^{x+2}\): 1. \(u = x + 2\) 2. \(n = x + 2\)

Теперь продифференцируем:

\(\frac{{dy}}{{dx}} = n \cdot u^{n-1} \cdot \frac{{du}}{{dx}}\)

\(\frac{{dy}}{{dx}} = (x+2)^{x+2-1} \cdot \frac{{d(x+2)}}{{dx}}\)

\(\frac{{dy}}{{dx}} = (x+2)^{x+1} \cdot 1\)

\(\frac{{dy}}{{dx}} = (x+2)^{x+1}\)

Способ 2: Логарифмическое дифференцирование

Используем логарифмическое дифференцирование, чтобы упростить задачу.

\(\ln y = \ln{(x+2)^{x+2}}\)

Применим свойство логарифмов: \(\ln a^b = b \cdot \ln a\)

\(\ln y = (x+2) \cdot \ln{(x+2)}\)

Теперь продифференцируем обе части уравнения по \(x\):

\(\frac{{d(\ln y)}}{{dx}} = \frac{{d\left((x+2) \cdot \ln{(x+2)}\right)}}{{dx}}\)

С помощью правила производной произведения функций получаем:

\(\frac{{1}}{{y}} \cdot \frac{{dy}}{{dx}} = \ln{(x+2)} + \frac{{x+2}}{{x+2}}\)

\(\frac{{dy}}{{dx}} = y \cdot \left(\ln{(x+2)} + 1\right)\)

Подставим обратно значение \(y = (x+2)^{x+2}\):

\(\frac{{dy}}{{dx}} = (x+2)^{x+2} \cdot \left(\ln{(x+2)} + 1\right)\)

Оба способа дают один и тот же результат: производная функции \(y = (x+2)^{x+2}\) равна \((x+2)^{x+1}\).