Question

58. Вычислите x1x2³+x1³x2,если х иху корни уравнения 2х2 – 3х - 6=0. -​

Answer 1

В решении

Пошаговое объяснение:

$2 {x}^{2} - 3x - 6 = 0 \\ x₁ + x₂ = \frac{3}{2} \\ x₁ \times x₂ = - \frac{6}{2} = - 3 \\ (x₁ + x₂) {}^{2} = (\frac{3}{2} ) {}^{2} \\ x₁ {}^{2} + 2x₁x₂ + x₂ {}^{2} = \frac{9}{4} \\ x₁ {}^{2} + x₂ {}^{2} = \frac{9}{4} - 2 \times ( - 3) \\ x₁ {}^{2} + x₂ {}^{2} = \frac{33}{4} \\ x₁x₂ {}^{3} + x₁ {}^{3} x₂ = x₁x₂(x₂ {}^{2} + x₁ {}^{2} ) = - 3( \frac{33}{4} ) = - \frac{ 99}{4}$

Answer 2

Для решения задачи, начнем с нахождения корней уравнения \(2x^2 - 3x - 6 = 0\). Мы можем воспользоваться формулой для квадратного уравнения:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где у нас есть уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\). В данном случае \(a = 2\), \(b = -3\), и \(c = -6\).

\[x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2}.\]

Выполним вычисления:

\[x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 48}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{4}.\]

Теперь, у нас есть два корня уравнения: \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{57}}{4}\) и \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{57}}{4}\).

Теперь подставим эти значения в выражение \(x_1x_2^3 + x_1^3x_2\):

\[x_1x_2^3 + x_1^3x_2 = \left(\frac{3 + \sqrt{57}}{4}\right)\left(\frac{3 - \sqrt{57}}{4}\right)^3 + \left(\frac{3 + \sqrt{57}}{4}\right)^3\left(\frac{3 - \sqrt{57}}{4}\right).\]

Теперь выполним вычисления. Чтобы избежать излишней сложности в выражениях, мы можем обозначить \(\sqrt{57}\) как \(a\):

\[x_1x_2^3 + x_1^3x_2 = \frac{(3 + a)(3 - a)^3 + (3 + a)^3(3 - a)}{4^4}.\]

Раскроем скобки и упростим:

\[x_1x_2^3 + x_1^3x_2 = \frac{(3 + a)(27 - 9a^2 + a^3) + (27 + 9a^2 + a^3)(3 - a)}{4^4}.\]

Теперь раскроем скобки еще раз и упростим:

\[x_1x_2^3 + x_1^3x_2 = \frac{81 - 24a^2 + 3a^4}{4^4}.\]

Теперь подставим обратно значение \(a = \sqrt{57}\):

\[x_1x_2^3 + x_1^3x_2 = \frac{81 - 24(\sqrt{57})^2 + 3(\sqrt{57})^4}{4^4}.\]

Выполним вычисления:

\[x_1x_2^3 + x_1^3x_2 = \frac{81 - 24 \cdot 57 + 3 \cdot 57^2}{4^4}.\]

\[x_1x_2^3 + x_1^3x_2 = \frac{81 - 1368 + 9801}{4^4}.\]

\[x_1x_2^3 + x_1^3x_2 = \frac{8514}{256}.\]

\[x_1x_2^3 + x_1^3x_2 = \frac{333}{32}.\]

Таким образом, значение выражения \(x_1x_2^3 + x_1^3x_2\) равно \(\frac{333}{32}\).