Question

Биссектриса прямоугольного угла делит его самый длинный край на участки длиной 6 см и 4 см. Вычислите площадь прямоугольника, рассмотрите 2 случая и не забудьте нарисовать рисунок, поясняющий ход решения.

Answer 1

Решение задания прилагаю

Answer 2

Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник с биссектрисой угла. Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол B прямой, а биссектриса угла B делит гипотенузу на две части.

Пусть AC - гипотенуза, а BM - биссектриса угла B, где M - точка деления гипотенузы.

Теперь, по условию, длина одного участка гипотенузы равна 6 см, а другого - 4 см. Обозначим эти участки как AM и MC соответственно.

AM = 6 см MC = 4 см

Также обозначим длину гипотенузы AC как c.

Так как BM - биссектриса, то BM делит угол B на два равных угла. По теореме о биссектрисе, мы можем использовать пропорции:

\[ \frac{AB}{BC} = \frac{AM}{MC} \]

Также, учитывая, что AM + MC = AC, мы можем записать:

\[ AM + MC = AC \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{AB}{BC} = \frac{6}{4} \]

\[ \frac{AB}{BC} = \frac{3}{2} \]

Теперь мы можем представить AB и BC через какую-то переменную \( x \):

\[ AB = 3x \] \[ BC = 2x \]

Теперь у нас есть отношения сторон в прямоугольном треугольнике. Мы также знаем, что AM + MC = AC:

\[ 6 + 4 = AC \] \[ AC = 10 \]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления длины катетов AB и BC:

\[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \] \[ (3x)^2 + (2x)^2 = 10^2 \] \[ 9x^2 + 4x^2 = 100 \] \[ 13x^2 = 100 \] \[ x^2 = \frac{100}{13} \]

\[ x = \sqrt{\frac{100}{13}} \]

Теперь мы можем вычислить AB и BC:

\[ AB = 3x = 3 \sqrt{\frac{100}{13}} \] \[ BC = 2x = 2 \sqrt{\frac{100}{13}} \]

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольника, образованного катетами, мы умножим их длины:

\[ S = AB \cdot BC \]

\[ S = 3 \sqrt{\frac{100}{13}} \cdot 2 \sqrt{\frac{100}{13}} \]

\[ S = 6 \cdot \frac{10}{\sqrt{13}} \]

\[ S = \frac{60}{\sqrt{13}} \]

Для упрощения ответа умножим и делим на \(\sqrt{13}\):

\[ S = \frac{60}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} \]

\[ S = \frac{60 \sqrt{13}}{13} \]

Таким образом, площадь прямоугольника равна \(\frac{60 \sqrt{13}}{13} \) квадратных сантиметров.