Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ ПОМОГИТЕ СРОЧНООО!!!!!!!!! ГЛАВНЫЙ МОЗГ!!!! 1)Найдите длину медианы АМ в треугольникеАВС с координатами вершин A (3; 1), B (3; 6),C (-5; 2)​2)Вычислите площадь треугольника с вершинами в точках А (3; 4), B (3;-4), C(-2;-4).

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте решим каждую задачу по очереди.

Задача 1:

Найдем координаты векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\): \[ \vec{AB} = \langle x_B - x_A, y_B - y_A \rangle = \langle 3 - 3, 6 - 1 \rangle = \langle 0, 5 \rangle, \] \[ \vec{AC} = \langle x_C - x_A, y_C - y_A \rangle = \langle (-5) - 3, 2 - 1 \rangle = \langle -8, 1 \rangle. \]

Теперь найдем координаты точки \(M\), которая является серединой отрезка \(\overline{BC}\): \[ \vec{BM} = \frac{1}{2} \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}\langle 0 - 8, 5 + 1 \rangle = \langle -4, 3 \rangle. \]

Координаты точки \(M\) получаются как сумма координат точек \(B\) и \(C\), умноженных на \(0.5\).

Теперь найдем координаты точки \(M\): \[ M(x_M, y_M) = (x_B + x_{BM}, y_B + y_{BM}) = (3 - 4, 6 + 3) = (-1, 9). \]

Таким образом, координаты точки \(M\) равны (-1, 9). Теперь найдем длину медианы \(AM\). Для этого используем формулу длины вектора:

\[ |AM| = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2}. \]

\[ |AM| = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (9 - 1)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}. \]

Таким образом, длина медианы \(AM\) равна \(\sqrt{80}\).

Задача 2:

Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона, используя длины его сторон.

Длины сторон треугольника с вершинами в точках \(A (3, 4)\), \(B (3, -4)\) и \(C (-2, -4)\):

\[ \begin{align*} |\overline{AB}| &= \sqrt{(3 - 3)^2 + (-4 - 4)^2} = \sqrt{0 + 64} = 8, \\ |\overline{BC}| &= \sqrt{(3 + 2)^2 + ((-4) - (-4))^2} = \sqrt{25 + 0} = 5, \\ |\overline{CA}| &= \sqrt{((-2) - 3)^2 + ((-4) - 4)^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89}. \end{align*} \]

Теперь можно вычислить полупериметр треугольника \(p\):

\[ p = \frac{|\overline{AB}| + |\overline{BC}| + |\overline{CA}|}{2} = \frac{8 + 5 + \sqrt{89}}{2}. \]

Теперь используем формулу Герона для площади треугольника \(S\):

\[ S = \sqrt{p \cdot (p - |\overline{AB}|) \cdot (p - |\overline{BC}|) \cdot (p - |\overline{CA}|)}. \]

Подставим значения:

\[ S = \sqrt{\frac{8 + 5 + \sqrt{89}}{2} \cdot \left(\frac{8 + 5 + \sqrt{89}}{2} - 8\right) \cdot \left(\frac{8 + 5 + \sqrt{89}}{2} - 5\right) \cdot \left(\frac{8 + 5 + \sqrt{89}}{2} - \sqrt{89}\right)}. \]

Это выражение может быть упрощено, но оставим его в данной форме.

Таким образом, получаем площадь треугольника с вершинами в точках \(A (3, 4)\), \(B (3, -4)\) и \(C (-2, -4)\).