Question

Можно ли числа 132, 133, …, 168 выписать в некотором порядке одно за другим так, чтобы получилось простое число? Ответ поясните.

Answer 1

Ответ:

Нельзя.

Пошаговое объяснение:

Можно ли расположить числа одно за другим так, чтоб получилось простое число?

Простое число - это число которое делится только на 1 и на самого себя.

Есть числовой ряд : 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168 - всего 37 цифр

Мы можем расположить эти числа в любом порядке и из них  надо получить простое число .

Вспомним признаки делимости  на 2 , 5 , 10:

2 - число делится на 2 , если оканчивается на четное

5 - число делится на 5 , если последняя его цифра 0 или 5

10 - число делится на 10 , если его последняя цифра 0.

Значит числа , которые оканчиваются на четную цифру , 0 или 5 не могут стоять последними в числе , которое мы должны получить.

Остаются числа с последней цифрой нечетной . Вспомним признаки делимости на 3 ,6 , 9,

3 - число делится на 3 . если его сумма цифр делится на 3

6 - число делится на 6 , если его последняя цифра четна и сумма цифр делится на 3

9 - число делится на 9 , если сумма его цифр делится на 9

Поскольку у нас не может быть последняя цифра четная ( мы так решили ) , значит отбрасываем признак делимости на 6 .

Проверим делится ли сумма цифр будущего числа на 3 ли 9 .

Найдем сумму всех цифр .

Возьмем ряд от 132 до 139 . Всего 8 чисел . Сумма цифр в каждом последующем числе  в ряду будет на единицу больше , чем в предыдущем числе, если  сумма цифр в числе 132 : 1+3+2= 6 , то далее будет 7, 8, 9, 10,11, 12 ,13. Мы получили числовой ряд :

6, 7, 8, 9, 10,11, 12 ,13

Далее воспользуемся правилом Гаусса :

складываем первое и последнее числа всей последовательности

6+13 = 19

и умножаем на количество пар , у нас 8 чисел , значит 4 пары

132 - 139 :  (6+13)*4 = 76 сумма всех цифр в этом ряду

Аналогично найдем сумму цифр в последующих парах

140-149 : (5+ 14)*5 = 95

150- 159 : ( 6+15)*5 = 105

160 -168:  здесь 9 чисел , следовательно  берем первые 8 и разбиваем на 4 пары и прибавляем сумму цифр последнего числа 168 :

( 7 + 14)*4 + 15 = 99

Общая сумма всех цифр :

76 + 95 + 105 + 99 = 375

3+7+5 = 15

Из таблицы умножения помним, что

15 = 3 * 5

а значит наше число будет кратно 3.

Значит из  чисел  132 , 133 ..... 168 нельзя составить простое число.

Answer 2

Can the numbers 132, 133, ..., 168 be arranged in a certain order one after another to form a prime number?

To determine if the numbers 132, 133, ..., 168 can be arranged in a certain order to form a prime number, we can examine the divisibility of the resulting number by various prime numbers.

Let's consider the numbers from 132 to 168 and check if any arrangement forms a prime number:

132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168

To determine if a number is prime, we need to check if it is divisible by any prime number less than its square root. If it is not divisible by any of these prime numbers, then it is prime.

Let's check the divisibility of the resulting number by some prime numbers:

- Divisibility by 2: None of the numbers in the given range are even, except for 132, which is divisible by 2. Therefore, any arrangement that includes 132 will not result in a prime number.

- Divisibility by 3: The sum of the digits of any number in the given range is divisible by 3 if and only if the number itself is divisible by 3. For example, the sum of the digits of 132 is 1 + 3 + 2 = 6, which is divisible by 3. Therefore, any arrangement that includes 132 will not result in a prime number.

- Divisibility by 5: None of the numbers in the given range end with 0 or 5, except for 135 and 140. Therefore, any arrangement that includes 135 or 140 will not result in a prime number.

- Divisibility by 7: Checking the divisibility by 7 for each number in the given range is a bit more involved. However, we can see that none of the numbers in the given range are divisible by 7.

Based on the above analysis, it is unlikely that any arrangement of the numbers 132, 133, ..., 168 will result in a prime number. However, to be absolutely certain, we would need to check the divisibility of the resulting number by all prime numbers less than its square root.

Please note that due to the large number of possible arrangements, it is not feasible to check each one individually. Therefore, we can conclude that it is highly unlikely that any arrangement of the numbers 132, 133, ..., 168 will form a prime number.