Question

ДАЮ 50Б вычислить производные заданных функций: y=4^(2x)/sin^(2)x ; y=(cosx)^(x)

Answer 1

вычисляем производные по формулам

Answer 2

Конечно, рад буду помочь с вычислением производных заданных функций.

1. Функция: \( y = \frac{4^{2x}}{\sin^2 x} \)

Начнем с вычисления производной этой функции по переменной \( x \).

Используем правило частного дифференцирования:

\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Где \( u = 4^{2x} \) и \( v = \sin^2 x \).

Теперь найдем производные \( u' \) и \( v' \):

- \( u' = (\ln 4) \cdot 2 \cdot 4^{2x} \) (по правилу дифференцирования степени) - \( v' = 2 \cdot \sin x \cdot \cos x \) (по правилу дифференцирования синуса)

Подставим все в формулу:

\[ y' = \frac{(\ln 4) \cdot 2 \cdot 4^{2x} \cdot \sin^2 x - 4^{2x} \cdot 2 \cdot \sin x \cdot \cos x}{\sin^4 x} \]

2. Функция: \( y = (\cos x)^x \)

Здесь нам потребуется применить правило дифференцирования произведения:

\[ y' = u'v + uv' \]

Где \( u = (\cos x)^x \) и \( v = \cos x \).

Теперь найдем производные \( u' \) и \( v' \):

- \( u' = x (\cos x)^{x-1} \cdot (-\sin x) + (\cos x)^x \cdot \ln(\cos x) \) (по правилу дифференцирования \(a^x\)) - \( v' = -\sin x \) (по правилу дифференцирования косинуса)

Подставим все в формулу:

\[ y' = x (\cos x)^{x-1} \cdot (-\sin x) + (\cos x)^x \cdot \ln(\cos x) - (\cos x) \cdot (\cos x)^x \]

Это выражение представляет собой производные заданных функций. Если есть дополнительные вопросы или нужны дополнительные пояснения, не стесняйтесь спрашивать.