Question

В треугольнике аbс AB=7 дм BC=8 дм B=120°. Найдите АС​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

По теореме косинусов имеем:

AC²=AB²+BС²- 2AB * BC * cos 120°        (cos120°) = - 1/2

AC²= 7² + 8² -2* 7 * 8 *(-1/2)= 49 + 64 - 112*(-1/2) = 113 + 56 = 169

AC=√169= 13дм

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать закон синусов, так как у нас есть данные о двух сторонах треугольника и угле между ними.

Закон синусов гласит:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},\]

где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, \(A\), \(B\), \(C\) - их противолежащие углы.

В нашем случае известны сторона \(AB = 7\) дм, сторона \(BC = 8\) дм и угол \(B = 120^\circ\), который противолежит стороне \(AC\), которую мы хотим найти.

Сначала найдем третий угол треугольника \(C\):

\[C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 120^\circ - A = 60^\circ - A.\]

Теперь мы можем использовать закон синусов для нахождения стороны \(AC\):

\[\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}.\]

Мы знаем, что \(BC = 8\) дм и \(B = 120^\circ\). Найдем синус угла \(A\):

\[\sin A = \frac{BC \times \sin B}{AC}.\]

Теперь выразим \(AC\):

\[AC = \frac{BC \times \sin B}{\sin A}.\]

Таким образом, нам нужно вычислить \(\sin A\):

\[\sin A = \frac{BC \times \sin B}{AC} = \frac{8 \times \sin 120^\circ}{AC} = \frac{8 \times \sqrt{3}/2}{AC} = \frac{4\sqrt{3}}{AC}.\]

Теперь, чтобы найти \(AC\), мы можем обратить это соотношение:

\[AC = \frac{4\sqrt{3}}{\sin A}.\]

Однако нам всё еще нужно найти \(\sin A\). Поскольку у нас треугольник с углом \(A\) и сторонами \(AB = 7\) и \(BC = 8\), мы можем использовать теорему косинусов для нахождения \(AC\):

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos A.\]

Подставим известные значения:

\[AC^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \times 7 \times 8 \times \cos A.\]

\[AC^2 = 49 + 64 - 112 \times \cos A.\]

\[AC^2 = 113 - 112 \times \cos A.\]

Теперь нам нужно выразить \(\cos A\):

\[\cos A = \frac{113 - AC^2}{112}.\]

Так как у нас \(C = 60^\circ - A\), мы знаем, что \(\sin A = \sin(60^\circ - C) = \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Таким образом, \(\cos A = \frac{1}{2}\).

Подставим это значение обратно в уравнение для \(AC\):

\[AC^2 = 113 - 112 \times \frac{1}{2}.\]

\[AC^2 = 113 - 56.\]

\[AC^2 = 57.\]

\[AC = \sqrt{57} \approx 7.55 \, \text{дм}.\]

Таким образом, длина стороны \(AC\) составляет приблизительно \(7.55\) дециметра.