Question

Экзаменационный билет состоит из 3-х вопросов. В программе 15 вопросов. Сколько билетов, отличающихся хотя бы одним вопросом, можно составить?

Answer 1

По смыслу задачи порядок следования вопросов в билете не важен. Поэтому, искомое количество билетов равно числу сочетаний из 15 элементов по 3:

$C_{15}^3=\dfrac{15!}{3!\cdot(15-3)!} =\dfrac{15\cdot14\cdot13}{1\cdot2\cdot3} =455$

Ответ: 455 билетов

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать комбинаторику. У нас есть 15 вопросов в программе и каждый билет состоит из 3 вопросов. Мы хотим узнать, сколько билетов можно составить, отличающихся хотя бы одним вопросом.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принцип включения-исключения. Этот принцип гласит, что для определения количества элементов, принадлежащих хотя бы одному из нескольких множеств, мы должны сложить количество элементов в каждом множестве, вычесть количество элементов, принадлежащих одновременно двум множествам, добавить количество элементов, принадлежащих одновременно трем множествам, и так далее.

В данном случае у нас есть 15 вопросов, и мы хотим узнать, сколько билетов можно составить, отличающихся хотя бы одним вопросом. Мы можем рассмотреть каждый вопрос как отдельное множество и применить принцип включения-исключения.

Решение:

1. Посчитаем количество билетов, которые можно составить, если не учитывать ограничение на отличие вопросов. Для этого мы можем использовать формулу сочетаний: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), где n - количество элементов в множестве (вопросов в программе), k - количество элементов, которые мы выбираем (вопросов в билете). В нашем случае n = 15 и k = 3. Подставим значения в формулу:

C(15, 3) = 15! / (3! * (15 - 3)!) = 15! / (3! * 12!) = (15 * 14 * 13) / (3 * 2 * 1) = 455

Таким образом, без ограничения на отличие вопросов, можно составить 455 билетов.

2. Теперь мы должны вычесть количество билетов, в которых все вопросы совпадают. В нашем случае это будет только один билет, так как каждый вопрос может быть выбран только один раз.

3. Используя принцип включения-исключения, мы можем вычесть количество билетов, в которых хотя бы два вопроса совпадают. Для этого мы можем выбрать 2 вопроса из 15 и составить билеты из оставшихся 13 вопросов. Используя формулу сочетаний, получаем:

C(15, 2) * C(13, 1) = (15! / (2! * (15 - 2)!)) * (13! / (1! * (13 - 1)!)) = (15 * 14 / (2 * 1)) * 13 = 15 * 7 * 13 = 1365

Таким образом, есть 1365 билетов, в которых хотя бы два вопроса совпадают.

4. Наконец, мы должны добавить количество билетов, в которых все три вопроса совпадают. В нашем случае это будет только один билет.

Итоговый ответ:

Таким образом, количество билетов, отличающихся хотя бы одним вопросом, которые можно составить, равно:

455 - 1 - 1365 + 1 = 90

То есть, можно составить 90 билетов, отличающихся хотя бы одним вопросом.