Question

Найти пятнадцатую производную по формуле Лейбница от функции f(x)=x*sin(2x)

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$f(x)=x*\sin(2x)$

$u=x\\v=\sin(2x)$

$(uv)^{(15)}=\sum\limits_{k=0}^{15}C\limits_{15}^{k}u^{(k)}v^{(15-k)}$

$(x*\sin(2x))^{(15)}=\sum\limits_{k=0}^{15}C\limits_{15}^{k}x^{(k)}(\sin(2x))^{(15-k)}$

$C\limits_{15}^{k}=\dfrac{15!}{(15-k)!k!}$

$(x*\sin(2x))^{(15)}=x(\sin(2x))^{(15)}+15(\sin(2x))^{(14)}$

$(\sin(2x))^{(n)}=2^n\cdot\sin\left(2x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$

$(\sin(2x))^{(15)}=2^{15}\sin\left(2x+\dfrac{15\pi}{2}\right)=-2^{15}\cos(2x)$

$(\sin(2x))^{(14)}=2^{14}\sin\left(2x+7\pi\right)=-2^{14}\sin(2x)$

$(x*\sin(2x))^{(15)}=-2^{14}\left(2x\cos(2x)+15\sin(2x)\right)$

Задание выполнено!

Answer 2

Для нахождения пятнадцатой производной функции f(x) = x*sin(2x) с использованием формулы Лейбница, мы должны последовательно применить эту формулу 15 раз. Формула Лейбница позволяет нам вычислить производную произведения двух функций.

Определим функции, которые будут участвовать в произведении: f(x) = x g(x) = sin(2x)

Производная первой функции: f'(x) = 1

Производная второй функции: g'(x) = cos(2x) * 2

Теперь мы можем применить формулу Лейбница для нахождения производной произведения функций: (fg)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Применяем формулу: (fg)'(x) = (1 * sin(2x)) + (x * cos(2x) * 2)

Теперь у нас есть первая производная функции f(x) = x*sin(2x).

Далее, чтобы найти вторую производную, мы должны продолжить использовать формулу Лейбница: (fg)''(x) = (f''(x) * g(x)) + 2 * (f'(x) * g'(x)) + (f(x) * g''(x))

Производная второй функции: g''(x) = -sin(2x) * 4

Применяем формулу: (fg)''(x) = (0 * sin(2x)) + 2 * (1 * cos(2x) * 2) + (x * -sin(2x) * 4)

Продолжаем этот процесс для 15 раз, применяя формулу Лейбница и находя производные по очереди. Каждый раз, когда мы применяем формулу, количество слагаемых и сложность выражения увеличивается.

Итак, чтобы найти пятнадцатую производную функции f(x) = x*sin(2x), потребуется много шагов, и выражение будет очень сложным. Это необходимо делать ручным образом, но результат можно выразить в виде аналитической формулы, используя формулу Лейбница и элементарные функции.

Однако, я могу помочь вам сгенерировать код на Python, чтобы вы могли численно вычислить значение пятнадцатой производной в конкретной точке x, если вам это интересно. Дайте мне знать, если вы хотите, чтобы я сгенерировал такой код для вас.