Question

длины сторон треугольник abc-целые числа. на стороне bc выбрана точка n так, что bn:nc=1:2.найдите длину стороны ac, если известно, что периметр треугольника abc равен 20, а прямая an перпендикулярна биссектрисе угла abc​

Answer 1

Ответ:

Длина стороны АС равна 8 ед.

Пошаговое объяснение:

Требуется найти длину стороны АС, если длины сторон треугольника АВС - целые числа.

Дано: ΔАВС;

N ∈ BC; BN : NC = 1 : 2;

M ∈ AC; BM - биссектриса угла АВС;

ВМ ⊥ AN; ВМ ∩ AN = O;

P (ΔABC) = 20

Длины сторон - целые числа.

Найти: АС.

Решение:

1. Пусть BN = x, тогда NC = 2x.

2. Рассмотрим ΔАВN.

ВО - биссектриса (условие)

ВМ ⊥ AN ⇒ ВМ - высота (условие)

• Если в треугольнике высота является биссектрисой, то этот треугольник  равнобедренный.

⇒ ΔАВN - равнобедренный.

АВ = BN = x

3. Рассмотрим ΔАВС.

ВМ - биссектриса.

• Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

То есть:

$\displaystyle \frac{AM}{AB}=\frac{MC}{BC}$     или      $\displaystyle \frac{AM}{MC}=\frac{AB}{BC}=\frac{x}{x+2x} =\frac{1}{3}$

Пусть АМ = а, тогда МС = 3а.

4. Р (ΔАВС) = АВ + ВС + АС = 20 ед.

х + 3х + (а + 3а) = 20

4х + 4а = 20

4 (х + а) = 20

х + а = 5     (1)

5. АС = Р (ΔАВС) - АВ - ВС = 20 - х - 3х = 20-4х

• Длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон.

⇒ АС < AB + BC

20 - 4x < x + 3x

20 < 8x     |:4

5 < 2x

x > 2,5     (2)

6. Учитывая равенство (1) и неравенство (2), зная что х - целое число, можно сделать вывод:

х = 3 или х = 4

7. Проверим х = 3.

АВ = 3, тогда ВС = 3х = 3 · 3 = 9.

АС = 20 - 3 - 9 = 8

Проверим, соблюдается ли неравенство треугольника:

AB < ВC + AC     или    3 < 9 + 8      Верно.

ВС < AB + AC     или    9 < 3 + 8      Верно.

АС < AB + BC     или    8 < 3 + 9      Верно.

⇒ х = 3 - подходит.

8. Проверим х = 4

АВ = 4, тогда ВС = 4 · 3 = 12

АС = 20 - 4 - 12 = 4

Проверим, соблюдается ли неравенство треугольника:

AB < ВC + AC     или    4 < 12 + 4      Верно.

ВС < AB + AC     или    12 < 4 + 4      НЕверно.

⇒ х = 4 - НЕ подходит.

Длина стороны АС равна 8 ед.

Answer 2

Пусть длина стороны BC равна x, тогда длина стороны BN будет x/3, а длина стороны NC будет 2x/3.

Так как прямая AN перпендикулярна биссектрисе угла ABC, то треугольник ABN будет подобен треугольнику ACN.

Используя подобие треугольников, можем записать отношение длин сторон AB и AC:

AB/AC = BN/NC = x/3 / 2x/3 = 1/2

Так как периметр треугольника ABC равен 20, то сумма длин сторон AB, BC и AC равна 20:

AB + BC + AC = 20 x + x + (x/2) = 20 5x/2 = 20 5x = 40 x = 8

Теперь можем найти длину стороны AC:

AC = AB / (1/2) = 8 / (1/2) = 16

Таким образом, длина стороны AC равна 16.